Максимальная плотность разрешённых состояний

Для вычисления концентрации СНЗ в полупроводниках (соотношения (1.5)) необходимо кроме функции Ферми–Дирака располагать аналитическим выражением максимального числа электронов, способных иметь данную энергию, т. е. знать зависимость плотности разрешённых состояний n_max(E) от энергии. Для вывода этого соотношения определим сна-чала полное число электронов, энергия которых не превышает некоторого значения Е.

В классической механике электрон считается частицей, не имеющей пространственного объёма, состояние которой во времени и пространстве точно определено координатами x, y, z и составляющими импульса р_х, р_у, р_z. Значит, состояние электрона будет задаваться (безразмерной) материальной точкой в шестимерном пространстве с взаимно перпендикулярны-ми осями x, y, z, р_х, р_у, р_z. Это пространство называется фазовым. Полный объём фазового пространства V_фаз равен произведению объёмов пространства координат V_xyz и пространства импульсов Vp_xp_yp_z

Объём изотропного пространства импульсов, соответствующий кинетической энергии

(1.7)

где m – масса электрона.

Объём пространства импульсов есть объём сферы радиуса р, равный Тогда

(1.8)

Согласно законам классической физики каждая точка этого пространства вполне характеризует состояние (координаты, скорость, направление движения) электрона, энергия которого не превышает величину Е и может изменяться непрерывно.

Однако электрон не являются классической частицей. При переходе из одного состояния в другое его энергия изменяется дискретным образом даже, если этот дискрет очень мал, как, например, в твёрдом теле. Если состояние изменяется с дискретом, ΔE то, очевидно, что максимальное число возможных состояний электрона с энергией Е не превышает отношения E/ΔE. Поскольку энергия выражается через импульс и координату, то число состояний в пространстве импульсов и координат не превышает отношений p_x/Δp_x и x/Δx соответственно, где, Δp_x Δx – дискреты изменения импульса и координаты, обязанные дискрету изменения энергии.

Из дискретности энергии логично следует принципиальная невозможность измерения физических величин с точностью, превышающей значения, обусловленные наличием соответствующих дискретов. Аналогично, применение линейки, проградуированной в миллиметрах, не позволяет измерять расстояния с точностью, превышающей значение дискрета, равного 1 мм.

Таким образом, при измерении дискретных физических величин (определении состояния объектов микромира) всегда имеет место принципиальная неопределённость, не связанная с погрешностями применяемых методов и используемых приборов.

Впервые к такому заключению пришёл немецкий физик Вернер Гейзенберг, который предложил принять эту принципиально неустранимую неопределённость в качестве специфического физического закона. Согласно этому закону, известному сейчас как соотношение неопределённости Гейзенберга, при одновременном определении координаты и импульса имеет место неопределенность измерения Δx и, Δp_x такая что

(1.9)

где h – постоянная Планка, посредством которой определяется минимальный дискрет (квант) энергии, равный hν, ν – частота излучения. Неопределённость выражается через произведение, что соответствует представлению фазового пространства произведением пространства импульсов и координат.

Отсюда следует, что для трёхмерного движения неопределённость составит величину, порядка . Это означает, что объём, который занимает электрон в фазовом пространстве, всегда конечный, не меньше размера элементарной ячейки h³. Учитывая, что в элементарной ячейке фазового пространства могут находиться 2 электрона с противоположными спинами, приходим к выводу, что объём фазового пространства может содержать максимум электронов. Тогда, используя (1.8) определим, что полное число электронов в единичном объёме координатного пространства N(E) [см^-3], энергия которых не превышает Е, будет равно

(1.10)

Максимальная плотность разрешённых состояний, т. е. число электронов в единице объёма с энергией Е, приходящихся на единичный интервал энергии, по определению есть

[см^-3Дж^-1] (1.11)

При вычислении сложной производной использованы соотношения (1.7), (1.10). В силу (1.7) здесь Е – кинетическая энергия. Отметим, что «отступления» от классической физики касались, в основном, обоснования размера элементарной ячейки фазового пространства через соотношение неопределённости Гейзенберга, которое по существу является формулировкой принципа исключения Паули на языке классической физики. Полученное соотношение (1.11) предполагает использование кинетической энергии классической частицы.

Дата добавления: 2014-01-20