Колебания пружинного маятника

Маятники.

Опр. 2.3.1. Пружинный маятник – тело массы , подвешенное на абсолютно упругой пружине и совершающее колебания под действием упругой силы , где жесткость пружины.

Знак минус указывает на то, что возвращающая сила направлена в сторону, противоположную смещению х.

Схема пружинного маятника показана на рисунке.

(а)

(б)

Уравнение движения .

Циклическая частота:, где масса тела. Зависит от жесткости пружины, массы груза и для выбранного маятника является величиной постоянной (не зависит от начальных условий).

Период колебаний ,

Тогда уравнение движения . Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела);

Решением этого дифференциальным уравнения будет функция .

Значения амплитуды А и начальной фазы определяются начальными условиями, т. е. условиями в начальный момент времени t = t₀.

Определим энергию пружинного маятника и ее изменение при колебаниях.

Кинетическая энергия .

Для определения потенциальной энергии растянутой пружины воспользуемся условием .

Здесь предполагается, что изменение потенциальной энергии пружины происходит за счет работы, совершаемой при растяжении пружины. Проинтегрируем это выражение:.

Потенциальная энергия растянутой пружины определяется выражением .

Полная энергия пружинного маятника

является величиной постоянной и зависит от амплитуды колебаний и физических параметров пружины. Потенциальная и кинетическая энергии пружинного маятника зависят от времени и являются периодическими функциями.

Пример 1. Пружинный маятник представляет собой пружину жесткостью k и связанное с ней тело массы т. В начальный момент времени массу отклонили от положения равновесия на расстояние х₀ и отпустили без начальной скорости. Найти временные зависимости отклонения , скорости и ускорения . Записать выражения для кинетической, потенциальной и полной энергий маятника.

Решение:

Запишем уравнение колебаний маятника и начальные условия:

где частота колебаний определяется формулой .

Решение дифференциального уравнения: .

Скорость тела: .

Подставим начальные условия:

Окончательно получим:

Найдем выражения для кинетической, потенциальной и полной энергий:

Дата добавления: 2014-01-11