Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Колебания пружинного маятника




Маятники.

Опр. 2.3.1. Пружинный маятник – тело массы , подвешенное на абсолютно упругой пружине и совершающее колебания под действием упругой силы , где жесткость пружины.

Знак минус указывает на то, что возвращающая сила направлена в сторону, противоположную смещению х.

Схема пружинного маятника показана на рисунке.

(а)

(б)

Уравнение движения .

Циклическая частота:, где масса тела. Зависит от жесткости пружины, массы груза и для выбранного маятника является величиной постоянной (не зависит от начальных условий).

Период колебаний ,

Тогда уравнение движения . Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела);

Решением этого дифференциальным уравнения будет функция .

Значения амплитуды А и начальной фазы определяются начальными условиями, т. е. условиями в начальный момент времени t = t0.

Определим энергию пружинного маятника и ее изменение при колебаниях.

Кинетическая энергия .

Для определения потенциальной энергии растянутой пружины воспользуемся условием .

Здесь предполагается, что изменение потенциальной энергии пружины происходит за счет работы, совершаемой при растяжении пружины. Проинтегрируем это выражение:.

Потенциальная энергия растянутой пружины определяется выражением .

Полная энергия пружинного маятника

является величиной постоянной и зависит от амплитуды колебаний и физических параметров пружины. Потенциальная и кинетическая энергии пружинного маятника зависят от времени и являются периодическими функциями.

Пример 1. Пружинный маятник представляет собой пружину жесткостью k и связанное с ней тело массы т. В начальный момент времени массу отклонили от положения равновесия на расстояние х0 и отпустили без начальной скорости. Найти временные зависимости отклонения , скорости и ускорения . Записать выражения для кинетической, потенциальной и полной энергий маятника.

Решение:

Запишем уравнение колебаний маятника и начальные условия:

где частота колебаний определяется формулой .

Решение дифференциального уравнения: .

Скорость тела: .

Подставим начальные условия:

Окончательно получим:

Найдем выражения для кинетической, потенциальной и полной энергий:

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 1243; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.