КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Коэффициент корреляции
В этой лекции большое внимание уделено ковариации. Это объясняется тем, что она весьма удобна с математической точки зрения, а вовсе не тем, что ковариация является особенно хорошим измерителем взаимосвязи между величинами (ниже мы рассмотрим ее недостатки). Более точной мерой зависимости является тесно связанный с ней коэффициент корреляции. Подобно дисперсии и ковариации, коэффициент корреляции имеет две формы - теоретическую и выборочную. Теоретический коэффициент корреляции традиционно обозначается греческой буквой р, которая произносится как "ро" и соответствует латинской "r". Для переменных х и у этот коэффициент определяется следующим образом: rх,у = 19. Если х и у независимы, то r равно нулю, так как равна нулю теоретическая ковариация. Если между переменными существует положительная зависимость, то sxy, а следовательно, и rху будут положительными. Если существует строгая положительная линейная зависимость, то rху примет максимальное значение, равное 1. Аналогичным образом при отрицательной зависимости rху будет отрицательным с минимальным значением -1. Выборочный коэффициент корреляции r определяется путем замены теоретических дисперсий и ковариаций в выражении «19» на их несмещенные оценки. Мы показали, что такие оценки могут быть получены умножением выборочных дисперсий и ковариации на п / (п -1). Следовательно, 20. Множители п / (п -1) сокращаются, поэтому можно определить выборочную корреляцию как 21. Подобно величине r, r имеет максимальное значение, равное единице, которое получается при строгой линейной положительной зависимости между выборочными значениями х и у (когда на диаграмме рассеяния все точки лежат на восходящей прямой линии). Аналогичным образом r принимает минимальное значение -1, когда существует линейная отрицательная зависимость (точки лежат точно на нисходящей прямой линии). Величина r =0 показывает, что зависимость между наблюдениями х и у в выборке отсутствует. Разумеется, тот факт, что r =0, необязательно означает, что r = 0, и наоборот. Иллюстрация Для иллюстрации вычисления выборочного коэффициента корреляции мы используем пример о спросе на бензин из раздела 1. Мы уже вычислили Cov (р,y) (см. табл.1), которая составляет -16,24, поэтому нам теперь необходимы только Var (p) и Var (y). По данным табл. 1 можно найти, что Var (p) = (p - = х 8885,75 = 888,58 и Var (y) = (y - = 13,30 / 10 = 1,33. Следовательно, r = Коэффициент корреляции является более подходящим измерителем зависимости, чем ковариация. Основная причина этого заключается в том, что ковариация зависит от единиц, в которых измеряются переменные х и у, в то время как коэффициент корреляции есть величина безразмерная. Это будет показано для выборочного коэффициента корреляции. Возвращаясь к примеру со спросом на бензин, мы исследуем, что может случиться, когда при вычислении индекса реальных цен в качестве базового года используется 1980 вместо 1972г. В этом случае ковариация изменится, а коэффициент корреляции - нет. При использовании 1972 г. в качестве базового года индекс реальных цен для 1980г. составил 188,8. Если теперь принять этот индекс за 100 для 1980г., то нужно пересчитать ряды путем перемножения на коэффициент 100/188,8 = 0,53. Новый ряд индексов реальной цены на бензин обозначим р1. Величина р1 численно меньше, чем р. Так как каждое отдельное наблюдение ряда цен было пересчитано с коэффициентом 0,53, то отсюда следует, что и среднее значение для р1 пересчитывается с этим же коэффициентом. Следовательно, в году t р1- = 0,53 p1 - 0,53 Это означает, что в году t и, следовательно, Cov (p1,y) = 0,53 Cov (p, y). Однако на коэффициент корреляции это изменение не повлияет. Коэффициент корреляции для р1 и у будет равен Числитель дроби был умножен на 0,53, но на ту же величину был умножен и знаменатель, так как Var (p1) = 0,532 Var (p). (Необходимо иметь в виду, что когда вы умножаете переменную величину на постоянную, ее дисперсия умножается на эту постоянную в квадрате.) Знаменатель умножается на 0,53, а не на 0,532, так как из Var (p1) извлекается квадратный корень.
Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 633; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |