Приклад 4

Крайова задача

Висновок.

При розв’язанні задачі Коші для одномірного рівняння теплопровідності виникає необхідність введення нових функцій (узагальнених).

9.Теплопровідність у скінченому стержні.

Якщо стержень скінчений (деякий відрізок осі), то для постановки задачі про поширення тепла в ньому, крім рівняння

, (1)

початкової умови, (2)

потрібно задати тепловий режим на кінцях стержня, тобто при і, який визначається межовими умовами

, (3)

тому задача носить назву крайової задачі.

Припускаємо, що бічна поверхня стержня тепло ізольована і

Умова говорить, що температура на лівому кінці підтримується і дорівнює 0.Умова (3) говорить про теплообмін на правому кінці.

Знак «-» вказує на те, що градієнт температури спрямований по внутрішній нормалі до поверхні. Швидкість зміни температури вздовж стержня пропорційна різниці температур стержня і середовища.

l - довжина стержня.

0 l x

Це одна з найпростіших крайових задач для розповсюдження тепла у скінченому стержні. Розв’язується задача методом Фур’є.

Метод Фур’є.

Шукається функція, яка залежить від двох змінних

;

після виконання необхідних процедур дістанемо:

Використаємо межові умови:

1)

2)

Власні числа подаються через корені трансцендентного рівняння:

Отримали трансцендентне рівняння, яке має безліч коренів, які вказують на власні числа

y

V

- корені рівняння

- відповідні значення

.

Дістанемо зчисленну множину розв’язків:

.

Розв’язком рівняння буде також функція

Використовуємо початкову умову(2):

- коефіцієнти Фур’є для функції за системою, на відрізку від 0 до.

Можна довести, що система функцій ортогональна на відрізку

Множимо зліва і справа останню рівність на і інтегруємо:

.

. (**)

Висновок:

Розв’язок крайової задачі для скінченого стержня подається у формі ряду (*), де подаються формулою (**).

9.2 Двовимірне і тривимірне рівняння теплопровідності.

.

Задача Коші для двовимірного рівняння теплопровідності.

Знайти функцію, яка задовольняє рівняння:

і початкові умови.

Розв’язок подається функцією

Аналогічно формулюється і розв’язується задача Коші для тривимірного простору.

10. Еліптичні рівняння.

Якщо процес стаціонарний ( тепловий чи коливний), то рівняння, що його описує, записується у такому вигляді, (рівняння)

називається рівнянням Лапласа.

О. Функція, яка задовольняє рівняння Лапласа в деякій області, називається гармонічною в цій області.

Якщо функція аналітична в деякій області, то і дійсна та уявна частини є функції гармонічні в цій області (потрібно використовувати умови Коші-Рімана).

, то і - гармонічні в.(;.

Приклад 1.

– функції гармонічні скрізь крім (0;0);

Приклад 2. гармонічні в ;

Приклад 3. – функція гармонічна скрізь, крім точки.

Дійсно:

В наслідок симетричності

Приклад 5. – гармонічна.

– гармонічна, – гармонічна.

10.1 Задача Діріхле.

Знайти гармонічну в області D функцію, яка на межі Г цієї області дорівнює заданій функції.

10.1.1 Задача Діріхле для круга.

y

Знайти гармонічну в крузі функцію, яка задовольняє умову

.

х Постановка задачі в полярних координатах.

- оператор Лапласа в полярних

координатах;

Задача. Знайти функцію u, яка задовольняє рівняння

і має задане значення на колі (межі круга)

Розв’язання (метод Фур’є).

Підставляємо вирази у рівняння, маємо:

Перше рівняння системи –це рівняння Ейлера, друге звичайне диференціальне рівняння 2-го порядку з сталими коефіцієнтами.

,

() =0;

Т=2.;

2;

Знаходимо обмежені розв’язки задачі Діріхле,тому

Дістаємо зчислену кількість розв’язків задачі Діріхле:

оскільки рівняння однорідне, то

(*)

Для знаходження використовуємо межову умову.

Справа дістали ряд Фур’є для

(**)

Дата добавления: 2014-01-20