Зауваження. Розв’язок задачі Діріхле для круга подається рядом , коефіцієнти якого обчислюються за формулою (**)

Перетворення ряду.

Висновок.

Розв’язок задачі Діріхле для круга подається рядом, коефіцієнти якого обчислюються за формулою (**).

У (*) підставляємо і з (**).

;

;

, (***)

де - ядро Пуассона, а весь інтеграл - це інтеграл Пуассона.

Зауваження: при виведенні формули (***) ми вважали, що розв’язок задачі Діріхле, тобто шукана функція існує, крім цього, ми скористалися розкладом функції в ряд Фур’є, що не обов’язково має місце, тому потрібно перевірити, що формула (***), тобто інтеграл, що стоїть в правій частині цієї формули дає гармонічну функцію всередині круга і функція є граничним значенням цього інтеграла на колі (межі круга).

Приклад. Зведення оператора Лапласа до полярних координат

10.1.2 Задача Діріхле для кулі.

Знайти гармонічну усередині кулі функцію, яка на межі приймає задані значення.

.

Підготовчий матеріал.

Поліноми Лежандра.

А) твірна функція поліномів Лежандра:

, де х – параметр.

1)Якщо

В околі точки - аналітична, тому подається степеневим рядом, коефіцієнти якого залежать від.

(1)

Функції - функції Лежандра, а - твірна функція поліномів Лежандра. Відомо, що

– коефіцієнти Тейлора;

2) Радіус збіжності ряду (1) є відстань від точки О до найближчої особливої

Знайдемо особливі точки функції:

При довільних значеннях особливі точки лежать на одиничному колі, тому радіус збіжності степеневого ряду дорівнює 1.

y Зауваження 1: якщо х=1, то твірна функція

1 x Зауваження 2: якщо х=-1, то маємо

Б) Властивості функцій Лежандра.

1) Функції є поліномами степеня які подаються у вигляді:

.

Доведення властивості.

Користуємось інтегральною формулою Коші для аналітичних функцій:

Усередині контура лежить точка О. В останньому інтегралі виконуємо заміну змінної:.

Після такої підстановки останній інтеграл зводиться до вигляду:

, точка х лежить усередині контура.

На основі формули для похідної можемо записати, що:

.

2) Поліноми Лежандра ортогональні на.

3) Інтеграл від квадрата функції (квадрат норми):

.

4) Поліноми Лежандра задовольняють диференціальне рівняння:

, - (лінійне диференціальне рівняння II-го порядку – диференціальне рівняння Лежандра).

Поліноми Лежандра можна дістати шляхом ортогоналізації системи функцій:

Приклад. Перевірити чи ортогональні дані функції на проміжку:

а); б); в); г);

а)

б)

в)

г)

10.1.3 Розв’язання задачі Діріхле.

Розв’язуємо у сферичних координатах для осесиметричного випадку; при цьому.

У випадку осесиметричності функція залежить від і:; тому

Метод розв’язання(Метод Фур’є).

1).

Підставляємо в рівняння і отримуємо:

Рівняння зводиться до двох диференціальних рівнянь II-го порядку.

а) Розв’язок першого рівняння шукаємо у формі:

;

Можна довести, що обмежений розв’язок у цьому випадку дістанемо якщо – ціле невід’ємне число, Тоді

Оскільки ми шукаємо обмежений розв’язок, то, тоді.

б) У другому рівнянні виконуємо заміну змінної:

Друге рівняння системи:

– рівняння Лежандра.

Розв’язком цього рівняння є

в)

– розв’язок рівняння Лапласа.

2)

– умова на межі.

Останню рівність помножимо на й інтегруємо по сфері радіуса R. Дістаємо:

Обчислюємо інтеграл справа

.

(*)

Висновок: Розв’язок задачі Діріхле для кулі подається у вигляді ряду

, де – обчислюються за формулою (*).

Зауваження: Цей результат зручно використовувати, якщо функція

подана через поліноми Лежандра.

11. Метод функції Гріна для задачі Діріхле

1. Підготовчий матеріал.

1) Градієнт:

Нехай задано скалярне поле тоді

.

2) Похідна за напрямом.

3) Дивергенція.

Нехай задано векторне поле:

тоді

.

Якщо, то в цій точці не має ні стоків, ні джерел;

Якщо, то в цій точці джерело;

Якщо, то в цій точці сток.

в точці, показує потужність джерел чи стоків.

4) Формула Остроградського-Гаусса.

,

– зовнішня одинична нормаль до поверхні.

– векторне поле

– замкнена поверхня, яка обмежує об’єм

Зауваження: якщо об’єм обмежений двома замкненими поверхнями, одна з яких міститься усередині іншої, то формула Остроградського-Гауса записується так:

– внутрішня нормаль до поверхні.

Теорема Гріна.

Якщо u і v – двічі диференційовані функції в області V, обмеженій поверхнею S, то має місце така формула:

, де n- зовнішня нормаль до S, оператор Лапласа.

Доведення.

1) Розглянемо вектор

;

Тоді:

а);

б), перший доданок цієї рівності:

Аналогічно знаходимо другий доданок; він дорівнює

Отже,.

в) За формулою Остроградського- Гаусса з урахуванням а) і б) дістаємо теорему.

Дана формула називається формулою Гріна і є основною в подальших застосуваннях.

Зауваження: Якщо є дві замкнені поверхні, розташовані одна всередині іншої, то формула Гріна є аналогічною до формули Остроградського- Гауса в цьому випадку.

12. Функція Гріна.

Маємо область, обмежену замкненою поверхнею Г в просторі R³.

A(x₀, y₀, z₀ ) – фіксована точка,

P(x, y, z) –біжуча точка,

–відстань між цими точками.

Розглянемо функцію. Вона гармонічна в області скрізь, крім точки А:

.

О. Функцією Гріна для вказаної області називається функція G, яка має такі властивості:

1),де g- гармонічна в усій області;

Дата добавления: 2014-01-20