Приклад. Розв’язок задачі Діріхле для напівпростору подається формулою (*)

Зауваження.

Висновок.

Розв’язок задачі Діріхле для напівпростору подається формулою (*).

Оскільки інтеграл у формулі (*) невласний, то для його збіжності функція повинна задовольняти певні умови. Природною умовою є абсолютна інтегрованість цієї функції на всій площині, що означає скінченність теплоти, поданої на площину.

Розв’язати задачу Діріхле для напівпростору, якщо функція задана так:

.

Перейдемо до полярних координат:

.

Інтегрування по r можна виконати у скінченому вигляді, інтегрування по приводить до еліптичного інтеграла. Дослідимо стаціонарний розподіл температури на осі.

z

для точки.

y

x

15. Задача Штурма-Ліувілля .

Задача Штурма-Ліувілля формулюється так:

Розв’язати рівняння

(1)

при умовах

(2)

. (3)

- функції від,

- числа,

- двічі неперервно – диференційовна,

- неперервно – диференційовна,

- неперервна на.

Маємо задачі на власні значення заданого диференціального оператора. Оскільки виписані умови є межовими, то задача Штурма-Ліувіля є крайовою, одномірною.

Підготовчий матеріал.

1. Якщо, то - власне значення оператора, а - власна функція.

2. Якщо, то його можна звести до вигляду записаного у задачі Штурма – Ліувіля

Помноживши обидві частини на функцію, отримаємо:

Щоб ліва частина мала вигляд, в останній рівності коефіцієнти мають задовольняти певній умові

проінтегруємо:

Сталу не пишемо, бо нас цікавить довільна функція, тому.

3. Якщо маємо рівняння ІІ-го порядку:

і - лінійно-незалежні розв’язки, то

- детермінант Вронського.

Детермінант Вронського для цього рівняння подається так:

- значення детермінанта у довільній точці.

4. Для рівняння Знаходимо детермінант Вронського:

5. Лінійне диференціальне рівняння ІІ-го порядку з правою частиною будемо розв’язувати методом варіації сталих.

- лінійно незалежні розв’язки

- загальний розв’язок рівняння без правої частини.

Нехай функції від.

Детермінант цієї системи і є детермінантом Вронського.

16. Одна спеціальна крайова задача.

Розв’язати рівняння при таких умовах:

(*)

де лінійно-незалежні розв’язки рівняння

Розв’язання.

Метод варіації сталих:

-

Знаходимо умови на кінцях для функції

Будемо вимагати щоб дана рівність дорівнювала нулю.

Для нашого рівняння система буде така:

Функція Гріна.

0

В нових термінах сформована задача має розв’язок:

(**)

Функція називається функцією Гріна для заданого рівняння.

Властивості функції Гріна.

1. Неперервна в квадраті.

2. Симетрична.

3. Як функція від вона задовольняє рівняння.

4. Похідна по від функції Гріна на діагоналі, має розрив першого роду з стрибком.

5. На сторонах квадрата функція як функція від задовольняє ті ж самі умови що і і.

Дата добавления: 2014-01-20