Висновок. Розв’язок задачі Діріхле подається за такою формулою

2).

Теорема.

Розв’язок задачі Діріхле подається за такою формулою

, (*)

- зовнішня нормаль до (G),

G-функція Гріна для цієї області.

M – точка межі (М є Г),

– задана на поверхні Г функція.

Зауваження:

Значення гармонічної в області функції подається через значення цієї функції на межі і через нормальну похідну функції Гріна на межі. Існує аналогіяміж формулою Коші в теорії аналітичних функцій і формулою (*).

Формула Коші:.

Доведення:

Проведемо сферу з центром в т. А радіуса e і позначимо її (ця сфера лежить усередині області). Проведемо внутрішню нормаль.

Нехай:Ω – об’єм, обмежений двома поверхнями: Г i S_ε.

Запишемо формулу Гріна у цьому випадку:

Покладемо в цій формулі: u – шукана функція задачі Діріхле; v - функція Гріна.

Функція Гріна гармонічна в області, функція - шукана гармонічна (за умовою), тому права частина дорівнює нулю ().

Оскільки функція Гріна на межі дорівнює нулю, а шукана функція на межі дорівнює, то:

1..

2.

.

3. Виписуємо в явному вигляді G і знаходимо

При підстановці в попередню рівність дістаємо:

В подальшому нам необхідно перейти до границі у цій рівності, якщо. Другий доданок у цій рівності прямує до нуля, якщо, бо під інтегралом обмежена функція, площа поверхні дорівнює

Розглянемо 3-йінтеграл:

а) – обмежена,.

Таким чином, останній інтеграл прямує до нуля, якщо.

б) (теорема про середнє) =

.

якщо, остаточно дістаємо:, що і потрібно було довести.

13. Задача Діріхле для кулі (метод функції Гріна).

Знайти гармонічну в кулі функцію, яка на поверхні кулі дорівнює

1)Побудова функції Гріна.

а) Знаходимо т. А* симетричну т. А відносно кулі; О – центр кулі;

ОА ОА*= – симетричні точки,

ОА=, ОА*= *, *=.

б) Знаходимо

в).

Функція гармонічна скрізь в кулі. Тому вираз у дужках є функцією Гріна для задачі Діріхле для кулі.

- функція Гріна для задачі Діріхле для кулі.

2)Для кулі:

Знаходимо нормальну похідну від функції Гріна; на:

Після перетворення дістанемо:

Розв’язок задачі Діріхле для кулі подається такою формулою:

- формула Пуассона.

Знаходимо у формулі Пуассона.

14.Задача Діріхле для напівпростору .

z Розглянемо верхню частину.

Г: – поверхня не замкнена,

– зовнішня нормаль,

y – оператор диференціювання.

x

Задача.

Знайти функцію гармонічну у заданому півпросторі, яка на площині

приймає задані значення

, - функція Гріна.

I. Будуємо функцію Гріна для заданого півпростору методом симетрії.

1) Розглядаємо точку.

2) Знаходимо симетричну точку - відносно площини

3) Розглядаємо біжучу точку.

4) Знаходимо.

5) Знаходимо.

- гармонічна у півпросторі (скрізь, крім точки А).

- гармонічна (скрізь).

.

II. Знаходимо похідну від функції Гріна по зовнішній нормалі і обчислюємо похідну на межі:

III. За формулою Гріна подаємо значення функції в точці А.

. (*)

Дата добавления: 2014-01-20