Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Математическая постановка двойственной задачи

Лекция 4. Теория двойственности в анализе оптимальных решений экономических задач

 

 

Рассмотрим основные понятия и выводы специального раздела линейного программирования – теорию двойственности. Любую задачу линейного программирования можно записать следующим образом:

 

(4.1)
(4.2)
(4.3)

 

 

Для большей наглядности используются записи типа f() ® max(min), эквивалентные записям max(min) f ().

С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной; первоначальная задача называется исходной или прямой. Связь исходной и двойственной задач заключается, в частности, в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой.

Хорошо разработанный математический аппарат линейного программирования позволяет не только получать с помощью эффективных вычислительных процедур оптимальный план, но и делать ряд экономически содержательных выводов, основанных на свойствах задачи, двойственной к исходной ЗЛП. Переменные двойственной задачи yi называют объективно обусловленными оценками или двойственными оценками. Модель двойственной задачи имеет вид:

(4.4)
(4.5)
  (4.6)

 

 

Каждая из задач двойственной пары фактически является самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо от другой. Однако при определении симплексным методом оптимального плана одной из задач находится решение и другой задачи.

Двойственная задача по отношению к исходной составляется согласно следующим правилам:

1) целевая функция исходной задачи (4.1)-(4.3) формулируется на максимум, а целевая функция двойственной задачи (4.4)-(4.6) – на минимум, при этом в задаче на максимум все неравенства в функциональных ограничениях имеют вид <, а в задаче на минимум – вид >;

 

Прямая задача Изменяемые параметры Двойственная
   

 

2) Матрица

 

составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений (4.2) исходной задачи, и аналогичная матрица

 

 

Прямая задача Изменяемые параметры Двойственная
 
   

 

в двойственной задаче получаются друг из друга транспонированием;

 

3) число переменных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений (3.2) исходной задачи, а число ограничений в системе (3.5) двойственной задачи – числу переменных в исходной задаче;

 

Прямая задача Изменяемые параметры Двойственная
 

 

4) коэффициентами при неизвестных в целевой функции (3.4) двойственной задачи являются свободные члены в системе (3.2) ограничений исходной задачи, а правыми частями в ограничениях (3.5) двойственной задачи – коэффициенты при неизвестных в целевой функции (3.1) исходной задачи;

 

Прямая задача Изменяемые параметры Двойственная
 

 

5) каждому ограничению одной задачи соответствует переменная другой задачи: номер переменной совпадает с номером ограничения; при этом ограничению, записанному в виде неравенства £, соответствует переменная, связанная условием неотрицательности. Если функциональное ограничение исходной задачи является равенством, то соответствующая переменная двойственной задачи может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

 

 

Математические модели пары двойственных задач могут быть симметричными и несимметричными. В несимметричных двойственных задачах система ограничений исходной задачи задается в виде равенств, а двойственной – в виде неравенств, причем в последней переменные могут быть и отрицательными. В симметричных задачах система ограничений как исходной, так и двойственной задачи задается неравенствами, причем на двойственные переменные налагается условие неотрицательности. В дальнейшем мы будем рассматривать только симметричные взаимодвойственные задачи линейного программирования.

Итак, согласно теории линейного программирования каждой ЗЛП вида (3.1)-(3.3) соответствует двойственная ей ЗЛП: (3,4)-(3.6). Основные утверждения о взаимодвойственных задачах содержатся в двух следующих теоремах.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Organisation scolaire : enseignement maternel et enseignement primaire | Теоремы двойственности
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 830; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.