Обслуживание с ожиданием без потерь

Лекция 10. Аналитическое моделирование систем массового обслуживания

В классической постановке задача формулируется следующим образом: в СМО типа М/М/m на m одинаковых ОА поступает простейший поток заявок c интенсивностью l. Если в момент поступления заявки имеется хотя бы один свободный ОА, она немедленно начинает обслуживаться, если нет – становится в очередь. Длительность обслуживания также распределена по экспоненциальному закону, т. е. представляет собой случайную величину с одним и тем же распределением вероятностей F(x) =1- e^{- m t}, где m – интенсивность обслуживания (величина, обратная МО времени обслуживания).

Выбор экспоненциального распределения в аналитическом моделировании СМО для описания длительности процесса не случаен. В этом предположении задача допускает простое решение, которое с удовлетворительной точностью описывает ход рассматриваемого процесса. Данное распределение играет в теории массового обслуживания важную роль, которая в значительной мере вызвана следующим свойством: при показательном распределении длительности обслуживания распределение длительности оставшейся части работы по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось.

Действительно, пусть P_a(t) означает вероятность того, что обслуживание, которое уже продолжатся время а, продлится еще не менее чем t.

В предположении, что длительность обслуживания распределена показательно, вероятность того, что обслуживание продлиться от нулевого момента времени до момента времени t составляет P₀(t)=e^{- m t}. Далее ясно, что P₀(a)=e^{- m a} и P₀(a+t)=e^{- m (a+t)}. А так как всегда P₀(a+t)=P₀(a)P_a(t), то e^{- m ( a+t)} e^{- m a}P_a(t) и, следовательно, P_a(t)=e^{- m t}=P₀(t).

Как уже отмечалось, в реальной обстановке показательное время обслуживания является, как правило, приближением, так как предположение, что F(x)= 1- e^{- m t} приводит к тому, что значительная доля заявок нуждается лишь в кратковременной операции, близкой к 0. Необходимость снятия этого ограничения решается распределением Эрланга (гамма-распределение с целочисленным параметром), плотность распределения которого задается формулой:

где m>0, а b – целое положительное число. Распределение Эрланга представляет собой распределение суммы b независимых слагаемых, каждое из которых имеет распределение F(x)=1- e ^{-m t}.

В каждый момент многоканальная система обслуживания с ожиданием М/М/m может находится в одном из следующих состояний: в момент времени t в системе находится k заявок. Если k £ m, то в системе находятся и обслуживаются k заявок, а m - k ОА свободны. Если k > m, то m заявок обслуживаются, а k - m находятся в очереди и ожидают обслуживания. Если Е_k – состояние, когда в системе находятся k заявок, система может находиться в состояниях E₀, E₁, E₂ … и т. д. Пусть в некоторый момент времени t₀ система находилась в состоянии E_i. Дальнейшее течение обслуживания полностью определяется тремя следующими факторами:

- моментами завершения обслуживаний, производящихся в момент времени t₀, т. е. начатых ранее t₀;

- моментами поступления новых заявок;

- длительностью обслуживания заявок, поступивших после t₀.

В силу рассмотренных особенностей показательного распределения длительность остающейся части обслуживания не зависит от того, как долго уже продолжалось обслуживание до момента времени t₀. Поток заявок является простейшим, и длительность обслуживания заявок, поступивших после t₀, никак не зависит от того, что и как обслуживалось до момента t₀. Таким образом, последующее течение процесса обслуживания не зависит в вероятностном смысле от того, что происходило до момента времени t₀. Система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляет случайный процесс Маркова или процесс без последействия – случайный процесс, для которого будущее развитие зависит только от достигнутого в данный момент состояния и не зависит от того, как происходило развитие в прошлом. Аналитическое моделирование СМО применимо только к Марковским процесса и системам.

В задаче обслуживания с ожиданием очереди многоканальной СМО представляются неограниченными, и рассматривается обслуживание без потерь. В реальных ВС потери могут иметь место. Аналитическими методами теории массового обслуживания решаются задачи моделирования СМО с потерями, которые могут иметь место по причине:

- ограничения количества мест в очереди;

- ограничения времени ожидания;

- ограничения времени пребывания;

- приоритетного обслуживания.

Дата добавления: 2014-01-20