Столкновение двух тел

В предыдущем параграфе рассматривалось движение частицы в поле с неподвижным центром. Ниже мы рассмотрим различные случаи столкновения двух частиц, представляющие большой практический интерес, и покажем, что такие задачи можно формально свести к рассмотрению движения одной частицы в поле центральных сил.

Иное название рассматриваемой проблемы – задача двух тел. Отметим, что только для двух взаимодействующих тел поставленная задача имеет аналитическое решение в общем виде.

14.1. Приведенная масса.

Рассмотрим взаимодействие двух частиц, которые образуют замкнутую систему. Задачу о движении этих частиц удобнее решать в системе центра инерции (СЦИ). Центр инерции замкнутой системы частиц, как это следует из закона сохранения импульса либо находится в покое, либо движется равномерно и прямолинейно.

Радиус-вектор (координаты) центра инерции определяется как (см. рисунок):

       

(14.1)

Если начало отсчета поместить в центр инерции системы, то и из (14.1) имеем

. (14.2)

Введем в рассмотрение вектор , характеризующий относительное положение частиц:

. (14.3)

Тогда, используя уравнения (14.2) и (14.3) можем записать

(14.4)

Согласно третьему закону Ньютона силы взаимодействия между частицами:

. (14.5)

Запишем уравнения динамики для каждой из взаимодействующих частиц (закон Ньютона):

, (14.6)

Перенеся массы частиц в уравнениях (14.6) в правую часть, вычтем первое уравнение из второго. Получаем

Итак, получаем уравнение движения в виде:

, (14.7)

где - приведенная масса системы частиц.

Формально мы перешли к задаче о движения одной частицы массой в поле сил .

Т.о., любая задача о движении двух взаимодействующих тел сводится к задаче о движении одного тела с массой, равной приведенной массе системы частиц, в центральном поле сил. Поэтому все результаты, полученные в предыдущем параграфе, могут быть использованы при решении этой задачи. Определяя или , и находя далее и , получаем те же плоские траектории: эллипсы, параболы и гиперболы.

Примеры

двойные системы звезд, позитроний, рассеяние заряженных частиц.

Столкновения частиц подразделяют на упругие, при которых не происходит изменения внутренней энергии частиц, и неупругие, в результате которых внутренняя энергия взаимодействующих частиц изменяется. Существует большое число неупругих столкновений, в которых внутренняя энергия частиц может изменяться только на вполне определенную величину, зависящую от свойств самих частиц (например, столкновения атомов). Говорят, что такие взаимодействия обладают порогом. Порогом называют минимальную кинетическую энергию налетающей частицы, начиная которой проводимый процесс становится энергетически возможным.

14.2. Неупругие столкновения

Итак, неупругими называются столкновения частиц, при которых часть кинетической энергии переходит во внутреннюю. Например, пуля, пробивая доску, теряет часть энергии, которая идет на изменение внутренней структуры и теплоту. Абсолютно неупругим называется удар, в результате которого тела «слипаются» и движутся далее как единое целое (см. рисунок).

Распад частиц.

Рассмотрим этот процесс в лабораторной системе отсчета (система) и в системе центра инерции (cистема).

   

Лабораторная система отсчета Система центра инерции

   

Очевидно, что в системе частицы, образовавшиеся в результате распада, уносят одинаковое количество движения, двигаясь в противоположные стороны. Тогда в системе закон сохранения импульса можно записать как

и пусть .

Поскольку исходная частица покоится её полная энергия равна внутренней. В этом случае закон сохранения энергии (с учетом внутренней энергии образовавшихся частиц) имеет вид:

, (14.8)

Введем энергию распада, т.е. ту часть энергии, которая при распаде исходной частицы перешла из внутренней энергии в кинетическую энергию осколков:

(14.9)

Тогда получаем:

Т.е. в системе энергию распада частицы можно представить как кинетическую энергию частицы с массой (приведенная масса):

(14.10)

Если e известно, то находим p₀ и скорости частиц в СЦИ:

(14.11)

Примечание: уравнения (14.10)-(14.11) справедливы для абсолютно неупругого удара, если процесс рассматривать в СЦИ.

Перейдем теперь в лабораторную систему отсчета ( система ).

Определим возможные углы вылета одной из частиц по отношению к скорости исходной частицы в лабораторной системе отсчета.

Пусть - скорость в системе исходной частицы, - скорость в системе одной из образовавшихся частиц, - ее скорость в системе. Тогда, следуя преобразованиям Галилея для скорости, имеем следующее соотношение:

, (14.12)

возводя в квадрат, получаем:

. (14.13)

Здесь и есть угол вылета частицы по отношению к скорости первоначальной частицы. Это уравнение определяет зависимость скорости образовавшейся после распада частицы от направления ее вылета в

системе. Можно проанализировать эти зависимости графически с помощью диаграмм.

Для этого построим окружность радиуса . Затем к центру окружности проводим вектор . Тогда скорость образовавшейся частицы определяется вектором, проведенным из точки в какую-либо точку окружности (точнее – сферы, диаметральным сечением которой является изображенная окружность).

На диаграммах рассмотрены случаи, когда скорость распадающейся частицы в системе меньше (, рис. слева) или больше (, рис. справа) скорости образующейся частицы в системе.

При , как следует из изображенной слева диаграммы, частица может вылететь под любым углом . В случае же (правая диаграмма) частица может вылететь только вперед, под углом . Предельное значение угла вылета частицы задается равенством:

. (14.14)

и определяет направление касательной к окружности, проведенной из точки .

Связь между углами вылета и в и системах определяется из тех же диаграмм и дается выражением:

. (14.15)

Решая это уравнение относительно , после элементарных преобразований получим

. (14.16)

При связь между углами и , как это видно из левого рисунка, однозначна. В этом случае в выражении (14.16) перед вторым слагаемым надо выбрать знак , чтобы при было .

Если же , то связь между углами и неоднозначна. Как видно из правого рисунка, каждому значению отвечают два значения , соответствующие векторам , проведенным из центра окружности в точки и , и, соответственно, два знака перед вторым слагаемым в выражении (14.16).

14.3. Упругие столкновения

Столкновение двух частиц называется упругим, если оно не сопровождается изменением их внутреннего состояния. Поэтому при описании упругого соударения в законе сохранения энергии внутреннюю энергию тел можно не учитывать.

Выберем лабораторную систему отсчета, где одна из частиц обладает импульсом , а вторая покоится () и запишем законы сохранения энергии и импульса:

. (14.17)

Выразим из закона сохранения импульса и подставим в закон сохранения энергии:

Введя угол между векторами и , выразим :

. (14.18)

Полученный результат можно интерпретировать геометрически с помощью векторных диаграмм, построенных для различных соотношений масс сталкивающихся частиц:

; и .

Обозначим

, (14.19)

где приведенная масса, скорость налетающей частицы (вторая частица покоится ),

и проведем окружность радиусом .

Построим вектор .

Из (14.19) следует

. (14.20)

Направленный отрезок на диаграмме изображает импульс налетающей частицы до рассеяния. При этом точка лежит внутри (если ), вне (если ) или на окружности (если ).

Из (14.20) видно, что складывается из отрезков и , пропорциональных массам сталкивающихся частиц, и , соответственно.

В свою очередь из (14.18) следует, что диаметр окружности, равный

,

будучи умноженным на , дает вектор (см. рисунок: как угол, вписанный в окружность).

Из уравнения (14.17) следует, что вектору на диаграмме соответствует отрезок, направленный из точки в точку . Тогда угол отклонения 1-ой частицы (налетающей) от её первоначального направления движения после столкновения.

Угол угол разлета 1 и 2-ой частиц после столкновения.

Возможные направления рассеяния первой частицы определяются вращением вектора вокруг точки . При этом конец вектора (точка ) всегда должен лежать на окружности радиусом .

При угол рассеяния может принимать значения от до , а угол разлета изменяется от до .

При очевидно, что существует максимальный угол отклонения налетающей частицы , определяемый точкой касания вектором окружности:

.

угол разлета в этом случае изменяется от до .

Угол соответствует центральному удару, или лобовому столкновению частиц.

При все точки начала и конца векторов лежат на

окружности. Угол , т.е. разлет частиц происходит под

прямым углом. В этом случае .

Исключением является лобовое столкновение, при котором

.

Тот же результат можно получить аналитически, решая

совместно уравнения законов сохранения энергии и импульса:

,

.

Возводя в квадрат второе уравнение и сравнивая с первым, легко убедиться, что совместно эти уравнения могут быть удовлетворены лишь при указанных значениях углов.

На всех рисунках центральный угол представляет собой угол поворота первой частицы в системе центра инерции. Из рисунков видно, что углы и связаны с углом соотношениями:

, .

Модули скоростей частиц после столкновения выражаются через угол и скорость налетающей частицы следующим образом:

, ,

где .

Дата добавления: 2014-01-20