Корреляционно-регрессионный анализ

Корреляционная связь может иметь различные формы линейной и нелинейной зависимости. Самой простой формой корреляционной связи является парная линейная регрессия, выражаемая уравнением прямой линии:

ý _х = а + b x

где а – свободный член уравнения регрессии, не имеющий экономического содержания;

b – коэффициент регрессии, который показывает, на сколько единиц своего измерения изменится у при изменении х на одну единицу своего измерения.

Знак (±) перед b показывает направление зависимости. Если перед b стоит знак (+), это означает прямую (положительную) связь между у и х; прямая линия возрастает. Если перед b стоит знак (-), это означает наличие отрицательной линейной зависимости; прямая линия будет нисходящей.

Уравнение регрессии должно в наибольшей степени приближать расчетные значения ý_х к фактическим значениям результативного признака. Методы такого приближения называются регрессионным анализом. Задачами регрессионного анализа являются установление формы корреляционной связи, оценка параметров а и b уравнения регрессии, прогноз возможных значений результативного признака при изменении независимой переменной х.

Наиболее часто в регрессионном анализе для оценки параметров уравнения регрессии используют метод наименьших квадратов(МНК). Параметры а и b должны быть такими, чтобы сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от расчетных (теоретических) значений ý _х была наименьшей:

Σ(y i - ŷ _х ) ² → min.

Иначе говоря, сумма квадратов ошибок Σ ε_i ² =Σ(y i - ŷ _х ) ² должна быть наименьшей из возможных.

Для нахождения минимума функции (2.4.) вычисляют частные производные по каждому из параметров а и b и приравнивают их к нулю.

Для удобства обозначим Σ ε_i ² через S, тогда

S = Σ(y i - ŷ _х ) ² = Σ(у - а - b x) ².

Решают систему уравнений из двух производных, приравненных нулю:

d S

------- = - 2 Σ у + 2n a + 2 b Σ x = 0;

d a

d S

------- = - 2 Σ у x + 2 a Σ x + 2 b Σ x ² = 0;

d b

После преобразования получают систему нормальных уравнений для нахождения параметров a и b:

n a + b Σ x = Σ y,

a Σ x + b Σ x ² = Σ y x.

Параметры а и b можно найти или методом последовательного исключения переменных, или методом определителей, или воспользоваться готовыми формулами:

a = y - b x.

где ух -средняя величина произведения результативного и факторного признаков;

y - среднее значение результативного признака;

х - среднее значение факторного признака;

х ² - средняя величина квадрата факторного признака;

х ² - средняя величина факторного признака в квадрате.

Оценка тесноты корреляционной связи называется корреляционным анализом. Наиболее распространенным показателем связи является коэффициент корреляции:

σ _x yх – у ˙ х

r _xy = b -------- = -----------------

σ _y σ _x σ _y

где b – коэффициент регрессии;

σ _y – среднее квадратическое отклонение результативного признака;

σ _x - среднее квадратическое отклонение факторного признака.

Коэффициент корреляции характеризует силу и направление линейной связи между двумя переменными и изменяется в пределах от – 1 до +1. Чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем теснее зависимость между у и х. И наоборот, чем ближе r _xy к 0, тем меньше зависимость у от х.

Таблица 8.1

Содержательная интерпретация коэффициента корреляции[3]

Значение r	Характер связи	Интерпретация связи
r = 0	Отсутствует	Отсутствует линейная связь между величинами х и у
0 ‹ r ‹ 1	Прямая	С увеличением х величиная у в среднем увеличивается
-1 ‹ r ‹ 0	Обратная	С увеличением х величина у в среднем уменьшается
r = + 1	Функциональная	Каждому значению х соотвествует одно строго определенное значение величины у, и наоборот
r = - 1

На основе шкалы Чеддока можно дать качественную оценку показателям тесноты связи (таблица 8.2).

Таблица 8.2

Шкала Чеддока[4]

Показания тесноты связи	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Характеристика силы связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	Весьма высокая

Другим показателем, характеризующим степень влияния независимой переменной на результативный признак, является коэффициент детерминации, который при линейной зависимости можно определить как квадрат коэффициента корреляции.

σ² _{у объясн.}

r²_yx. = -----------

σ² _{у общ.}

Коэффициент детерминации изменяется в пределах от 0 до+1. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака.

Дата добавления: 2014-01-20