Непараметрические методы оценки тесноты связи

Рассмотренные ранее методы статистического анализа тесноты связи между экономическими явлениями основывались на возможности определения основных количественных характеристик распределения случайных величин – среднего значения, дисперсии. Такие методы называются параметрическими.

Для установления связи между качественными (атрибутивными) признаками применяются непараметрические методы. Они не требуют нормального распределения зависимой переменной. В то же время снижается глубина исследования связей, не ставится задача представления зависимости между признаками в форме уравнения.

Цель непараметрических методов заключается в установлении наличия и тесноты связи, но нее ее математического выражения.

Среди непараметрических методов важное значение имеют коэффициенты ранговой корреляции, которые могут применяться для исследования связи как между количественными, так и между качественными признаками. Важно то, что значения этих признаков могут быть упорядочены по степени убывания или возрастания. Ранговый коэффициент корреляции характеризует степень связи между порядковыми переменными.

В основу расчета коэффициентов ранговой корреляции положен принцип нумерации значений статистического ряда (ранжирование). Порядковые номера (ранги) индивидуальных значений факторного признака располагают в порядке возрастания, а параллельно им располагаются ранги соответствующих значений результативного признака. Если ранги результативного признака обнаруживают тенденцию к увеличению, можно предположить наличие прямой линейной связи между признаками. Если с увеличением рангов факторного признака ранги результативного признака уменьшаются, это свидетельствует о возможном наличии обратной линейной зависимости.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена исчисляется по формуле:

6 S d_i ² 6 S d_i ²

Ρ = 1 - ————— = 1 - —————

n (n² – 1) n³ - n

где d_i ² – квадрат разности рангов;

n – число наблюдений или число пар рангов.

Значения коэффициента корреляции Спирмена колеблется в пределах от -1 до +1.

Например, необходимо установить наличие или отсутствие связи между интенсивностью окраски пряжи (у) и его влажностью (х) в 10 партиях сырья. Эксперт расположил партии в порядке, который представлен в строках 2-3 таблицы 8.3.

Таблица 8.3.

Расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена

№ партии
Ранг интенсивности окраски ρy
Ранг влажности ρx
d		-3			-2	-3		-1		-1
d^2

6 (9 + 9 +1 + 4 + 4 + 9+ 9 +1 + 1 + 1) 6 * 48

Р = 1 - ————————————————— = 1 - ————— = 071

10³ – 10 990

Пользуясь определением тесноты связи по шкале Чеддока, можно сделать вывод, что между влажностью интенсивностью краски пряжи существует высокая сила связи.

Для более углубленных исследований применяют коэффициент корреляции рангов Кендалла:

2 S

t = —————

n (n - 1)

где S – сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий по второму признаку.

S = Р + Q

Р – сумма чисел рангов, следующих за данным рангом «у», превышающих его величину;

Q – сумма чисел рангов переменной у, следующих за данным рангом «у» и меньших его величины. Эти числа берутся со знаком (-)«минус».

Порядок расчета коэффициента рангов Кедалла осуществляется в следующем порядке:

1) значения Х ранжируются в порядке возрастания или убывания;

2) значения У располагаются в порядке, соответствующем значениям Х;

3) для каждого ранга У определяется число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину. Их сумма дает величину Р, которая представляет собой меру соответствия последовательностей рангов по Х и У и учитывается со знаком (+);

4) для каждого ранга У определяется число следующих за ним рангов, меньших его величины. Их сумма Q берется со знаком (-);

определяется S = Р + Q.

Например[5], пять фирм, производящих молочные продукты, проранжированы по рангам, соответствующим оценке покупателями качества их продукции. Параллельно получены ранги этих фирм по результатам опросов магазинов розничной торговли. Полученные результаты представлены в графах 1-2 таблицы 8.4.

Таблица 8.4

Фирма	Ранг покупателей ρх	Ранг продавцов ρy

Р = 3 + 3 + 0 + 0 = 6

Q = 1 + 0 + 2 + 1 = 4

S = 6 – 4 = 2

2 * 2

t = ————— = 0,2.

5 (5 - 1)

Между коэффициентами Спирмена и Кендалла существует соотношение

ρ = —— t

Для оценки тесноты связи между несколькими признаками применяется коэффициент конкордации:

2 S

W = —————

m² (n³ - n)

где m – число факторов (i = 1, 2, 3, …m;

n – число ранжируемых единиц (j = 1, 2, 3, …, n);

S – отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов.

_{n m} S Rij (S Rij)²

S = S (S Rij - ———) ² = (S R ij)² - —————

^{i =1 j =1} n n

Коэффициент конкордации принимает любые значения в интервале от -1 до +1.

Например, имеются данные о ранжировании восьми видов продукции по трем показателям – уровню рентабельности, уровню качества и уровню спроса.

Таблица 8.5

Расчет коэффициента конкордации

№ продукции	Ранг по показателям R ij	S Rij	(S Rij)^2
Уровня рентабельности	Уровня качества	Уровня спроса
Итого	х	х	х

108 ²

S = 1788 - ——— = 330

12 * 330

w = ————— = 0,873

3² * (8³ – 8)

При исследовании связи между альтернативными признаками (признаками с взаимоисключающими, противоположными характеристиками) применяются коэффициенты, расчет которых основан на построении таблиц сопряженности.

Для изучения связи между двумя качественными признаками, каждый из которых состоит из двух групп, применяются коэффициенты ассоциации и контингенции. При этом строится четырехклеточная корреляционная таблица (таблица четырех полей):

Таблица 8.6

Таблица сопряженности

a	b	a+b
c	d	c+d
a+c	b+d	a+b+c+d

где a, b, c, d – частоты х значений альтернативных признаков.

Коэффициент контингенции Д.Юла вычисляется по формуле:

ad - bc

К к =

ad + bc

Коэффициент контингенции изменяется в пределах от -1 до +1. чем ближе коэффициент к ± 1, тем теснее зависимость между признаками. Если Кк ³ 0,5, это свидетельствует о наличии связи между качественными признаками.

Коэффициент ассоциации К. Присона исчисляется по формуле:

ad - bc

К ас =

Коэффициент ассоциации всегда меньше коэффициента контингенции. Связь подтверждается, если Ка ³ 0,3.

При наличии более двух возможных значений каждого из взаимосвязанных признаков используется несколько показателей связи.

Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона.

где j² – показатель взаимной сопряженности;

j определяется как сумма отношений квадратов частот каждой клетки таблицы сопряженности к произведению итоговых частот соответствующего столбца и строки.

Недостатком коэффициента сопряженности Пирсона является то, что даже при полной связи он не достигает единицы, а лишь стремится к ней при увеличении числа групп. Максимальное значение данный коэффициент принимает при равенстве частот признаков fij = fi = fj.

Русским статистиком А.А. Чупровым был предложен другой коэффициент взаимной сопряженности. Коэффициент взаимной сопряженности Чупрова

где К₁ и К₂ – число групп по признакам 1 и 2.

Чем ближе коэффициенты сопряженности к 1, тем связь теснее.

Например, проверим гипотезу о наличии связи между семейным состоянием вступающих в брак и количеством заключенных браков, то есть гипотезу о преимущественном предпочтении к заключению браков лицами с одинаковым семейным положением. Число групп по обоим признакам одинаковое и равно 3.

Таблица 8.7.

Семейное состояние женихов	Семейное состояние невест	Итого частот fi
незамужние	разведенные	вдовы
Холостые	90.4	8.1	0.5	99.0
Разведенные	10.3	14.1	1.1	25.5
Вдовцы	0.7	1.7	1.2	3.6
Итого частот fj	101.4	23.9	2.8	128.1

Согласно этой гипотезы частоты fij расположены вдоль главной диагонали (выделены жирным шрифтом).

Рассчитаем показатель взаимной сопряженности

90,4 ² 8,1 ² 0,5 ² 10,3 ² 14,1 ² 1,1 ²

j² = ————— + ———— + ———— + ————— + ————— + —————

99 * 101,4 99 * 23,9 99 * 2,8 101,4 * 25,5 25,5 * 23,9 25,5 * 2,8

0,7 ² 1,7 ² 1,2 ²

+ ————— + ————— + ————— = 0,407

3,6 * 101,4 3,6 * 23,9 3,6 * 2,8

Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона

Коэффициент сопряженности Чупрова

Как видно из расчетов, коэффициент взаимной сопряженности Пирсона показывает более тесную зависимость количества заключенных браков от семейного состояния людей, вступающих в брак.

Дата добавления: 2014-01-20