Теорема Чебышева. Начальные и центральные теоретические моменты

Закон больших чисел.

Начальные и центральные теоретические моменты.

Числовые характеристики дискретных случайных величин.

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины Х^k:

n_k=M(X^k)

В частности,

n₁=M(X); n₂=M(X²)

D(X)=n₂-n₁².

Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины (Х-M(X))^k:

m_k=[(X-M(X))] ^k

В частности,

m₁=[(X-M(X))]=0; m₂=[(X-M(X))]²=D(X).

Из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, можно получить формулы:

m₂=n₂-n₁²

m₃=n₃-3n₂n₁+2n₁³

m₄=n₄-4n₃n₁+6n₂n₁²-3n₁⁴

Нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Казалось бы, поскольку о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. Но оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Следовательно, очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел.

Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел.

Если Х₁; Х₂; …; Х_n; … - попарно независимые случайные величины, причём дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было положительное число ε, вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы

Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

На теореме Чебышева основан выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов.

Дата добавления: 2014-01-20