Основные понятия и определения. Любой эксперимент представляет собой систему операций, воздействий и (или) наблюдений, направленных на получение информации об объекте при исследованиях

Любой эксперимент представляет собой систему операций, воздействий и (или) наблюдений, направленных на получение информации об объекте при исследованиях. Переменная величина, которая по предположению влияет на результат эксперимента, называется фактором. Для каждого фактора в эксперименте имеется фиксированных значений относительно начала отсчёта, которые называются уровнями фактора.

Факторное пространство представляет собой пространство, координатные оси которого соответствуют значениям факторов. Область факторного пространства, где могут размещаться точки, отвечающие условиям проведения экспериментов, называется областью экспериментирования (планирования).

Наблюдаемая случайная величина, по предположению зависящая от факторов, представляет собой их отклик – функцию отклика. Геометрическое представление функции отклика в факторном пространстве является поверхностью отклика. Изучение формы поверхности отклика, нахождение оптимальных значений исследуемых параметров – основная задача планирования эксперимента.

Можно выделить основные и случайные факторы. К первым относятся все изучаемые, а также другие учитываемые и изменяемые факторы, которые служат для стабилизации явления. Неустранимые, не поддающиеся учёту и измерению факторы относятся к случайным. При планировании экспериментов к факторам предъявляются определенные требования:

1. Управляемость, которая означает возможность их одновременной установки на выбранных уровнях и стабилизации этих значений в процессе эксперимента.

2. Однозначность и непосредственное воздействие на объект явления.

3. Достаточно высокая точность их измерения с учётом специфики поставленной задачи.

Факторы должны быть совместимыми и независимыми. Совместимость означает осуществимость и безопасность комбинаций факторов (например, взрыв или выход из строя установки и т. д.), независимость – возможность стабилизации фактора на любом уровне независимо от уровней других факторов.

Если в эксперименте выявляется зависимость от одного фактора , то такой эксперимент является однофакторным. В случае влияния нескольких факторов эксперимент будет многофакторным. При однофакторном эксперименте поверхность отклика представляет собой линию на плоскости, при двухфакторном – геометрическую поверхность в трехмерном пространстве. При большем числе факторов () геометрическое изображение функции отклика становится невозможным.

Истинный вид функции отклика до эксперимента чаще всего не известен, в связи с чем для математического описания поверхности отклика используется уравнение (– факторы, )

,

где – переменные факторы при ,

,

коэффициенты.

Это уравнение является разложением в ряд Тейлора неизвестной функции отклика в окрестности точки с нулевыми координатами. На практике по результатам эксперимента данный полином заменяется уравнением

,

которое называют моделью регрессионного анализа (регрессионной моделью). Параметры регрессионной модели называются коэффициентами регрессии и определяются экспериментально. Они служат статистическими оценками неизвестных теоретических коэффициентов , т. е. , , , . В регрессионной модели члены второй степени () характеризуют кривизну поверхности отклика. Чем больше кривизна этой поверхности, тем больше в модели регрессионного анализа членов высших степеней.

На практике чаще всего ограничиваются линейной моделью

.

В случае, когда нельзя ограничиться линейным приближением, учитываются члены второй степени (квадратичная модель):

.

Выбор функции отклика, факторов и их уравнений в значительной мере определяется информацией, которая имеется в распоряжении исследователя до постановки эксперимента. Полученная в эксперименте регрессионная модель процесса должна быть адекватной, т.е. соответствовать экспериментальным данным по выбранному критерию. Адекватность модели проверяется с помощью статистических методов (см. п. 5).

В планировании эксперимента используются планы эксперимента первого и второго порядков – планы, обладающие ортогональностью и ротатабельностью. Первые представляют собой планы с двумя или более уровнями факторов и позволяют найти раздельные оценки параметров регрессионной модели первого порядка, вторые – планы с более чем двумя уровнями факторов для нахождения оценок параметров регрессионной модели второго порядка.

Ортогональные планы строятся так, чтобы расчётные операции по определению параметров регрессионной модели сводились к решению системы нормальных уравнений, обладающих диагональной матрицей. Это позволяет находить коэффициенты уравнения регрессии независимо один от другого.

Построение плана всегда преследует какую-либо оптимальную цель. Чаще всего в экспериментах оптимизируются их количество в плане, степень использования факторного пространства, средняя или максимальная дисперсия найденных коэффициентов регрессии либо результата эксперимента. Каждому оптимизируемому параметру соответствует свой критерий оптимальности, который и определяет выбор наилучшего варианта плана эксперимента.

В настоящее время при выполнении экспериментов оптимизируется до 200 параметров и не всегда возможно удовлетворить все требования оптимизации одновременно. Например, нельзя удовлетворить требованию минимума числа экспериментов, когда их больше, чем число коэффициентов уравнения регрессии, которые подлежат определению.

Лишнее число экспериментов называют числом степеней свободы . Планы, в которых , носят название насыщенных. Поскольку в таких планах нельзя достичь высокой точности аппроксимации исследуемого явления регрессионной моделью, они чаще всего используются на этапе предварительного исследования.

Дата добавления: 2014-01-20