Теорема Коши

Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Лекция 14

Пример 14

, т.е. расходится.

Обыкновенным дифференциальным уравнением n^-го порядка называется выражение вида:

или ,

то есть, уравнение, содержащее неизвестную функцию и её производные до n^-го порядка.

Так, например:

1) , или - это дифференциальное уравнение первого порядка;

2) - дифференциальное уравнение второго порядка.

Из определения дифференциального уравнения следует, что его порядок равен порядку старшей производной, содержащейся в нём.

Решением дифференциального уравнения называется любая функция

,

которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Пример 16 Проверить (самостоятельно), будут ли функции

; ; ;

решениями дифференциального уравнения

.

Решение:

Рассмотрим уравнения первого порядка.

(1)

имеет место следующая

Если функция определена и непрерывна в области вместе со своей частной производной , то для всякой точки , принадлежащей области , в некоторой её окрестности, существует единственное решение , удовлетворяющее начальному условию при

. (2)

Условия (2) называются начальными условиями.

Геометрически это означает, что при выполнении условий теоремы через каждую внутреннюю точку M₀ области проходит единственная интегральная кривая.

Задачей Коши называют задачу о нахождении решения дифференциального уравнения

, (1)

удовлетворяющее начальным условиям

. (2)

Вышеприведённую теорему называют теоремой о существовании и единственности решения задачи Коши.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называют функцию такую, что

1) при любом она является решением дифференциального уравнения (1);

2) каковы бы ни были начальные условия (2), всегда можно найти такое , что удовлетворяет начальным условиям (2).

Частным решение называется решение, полученное из общего при конкретном значении .

Дата добавления: 2014-01-11