Видео - Бесконечно малые функции

2.

1.

С древнейших времен существовали два противоположных представления о структуре материального мира.

Одно из них: континуальная концепция Анаксагора - Аристотеля - базировалось на идее непрерывности, внутренней однородности, "сплошности" и, по-видимому, было связано с непосредственными чувственными впечатлениями, которые производят вода, воздух, свет и т.п. Материю, согласно этой концепции, можно делить до бесконечности, и это является критерием ее непрерывности. Заполняя все пространство целиком, материя не оставляет пустоты внутри себя.

Принцип непрерывности означает, что ни один реально существующий в природе процесс не может начаться самопроизвольно (беспричинно) и закончиться бесследно. Все процессы, которые можно описать математическими формулами, могут быть рассчитаны только с помощью непрерывных зависимостей или функций. Все изменения имеют свои причины, скорость передачи любых взаимодействий обусловлена свойствами той среды, в которой взаимодействуют объекты. Но сами эти объекты в свою очередь изменяют среду, в которой они находятся и осуществляют взаимодействия.

Принцип непрерывности всеобщий, то есть применимый и действующий всегда, не зависимо от любых условий рассмотрения физических, химических, биологических и даже мыслительных процессов.

Принцип непрерывности утверждает, что все процессы в природе могут быть описаны только с помощью непрерывных функций, причём как значения аргументов, так и значения получаемых при использовании этих функций результатов, так же должны являться непрерывными зависимостями.

Проще говоря, время, пространство, энергия и информация непрерывны.

Исторически первым, по-видимому, является изобретение колеса, окружность можно считать двухмерным символом непрерывности.

Из принципа непрерывности прямо вытекает принцип причинности.

Это означает, что предыдущее состояние каких-либо параметров системы и скорость их изменений являются причиной последующих состояний этой системы. Все изменения в системе происходят непрерывно. Но, чтобы изменения начали происходить, также необходимы причины, которые следует искать опять же в предыдущих состояниях.

Другое представление: атомистическая (корпускулярная) концепция Левкиппа - Демокрита - было основано на дискретности пространственно-временного строения материи, "зернистости" реальных объектов и отражало уверенность человека в возможность деления материальных объектов на части лишь до определенного предела - до атомов, которые в своем бесконечном разнообразии (по величине, форме, порядку) сочетаются различными способами и порождают все многообразие объектов и явлений реального мира. При таком подходе необходимым условием движения и сочетания реальных атомов является существование пустого пространства. Таким образом, корпускулярный мир Левкиппа-Демокрита образован двумя фундаментальными началами - атомами и пустотой, а материя при этом обладает атомистической структурой. Атомы по представлению древних греков не возникают и не уничтожаются, их вечность проистекает из бесконечности времени.

Позволь мне рассказать тебе о фрактале и монаде. Фрактал это фигура созданная из таких же фигур, как и она сама, только более маленьких, и, которая сама является частью такой же фигуры только в более большом масштабе. У монады есть множество определений, но я остановлюсь на том, что это неделимая Пустота без конца и начала. Та самая пустота, из которой состоит весть космос, не считая иллюзорных галактик и остальных космических материальных тел. Хочешь спросить, почему слово материальные взято в кавычки и почему галактики иллюзорные? Просто потому что материи нет. И нигде, никогда не будет. Сейчас ты сидишь за компьютером, и тебе кажется, что он материален, как и твои руки, и всё тело. Но это не так. В нашем обществе атомы принято представлять шариками, и мы знаем, что всё состоит из этих шариков, в том числе рука и компьютер. Даже воздух это Пустота, в которой летают эти шарики. А плотность предметов определяется только расстоянием этих шариков друг от друга. Между ними же всегда Пустота. Причём даже в самых плотных материях Пустоты всегда больше, чем этих шариков. Но шарообразность атомов это иллюзия. Сегодня для всех очевидно, что атом это ядро с вращающимися вокруг него электронами. Это похоже на нашу солнечную систему. Представь субъекта познания настолько же большого по отношению к нашей солнечной системе, как человека по отношению к атому. Для него вращение планет вокруг нашего солнца будет казаться очень быстрым в силу соотношения размеров. От чего будет создаваться эффект, что наша солнечная система круглая, однородная и плотная. Но мы хорошо знаем, что это не так космоса, то есть Пустоты, в нашей солнечной системе намного больше, чем плотных планет. Так же и с атомом. Поэтому получается, что внутри компьютера или твоей руки не только пустоты больше, чем атомов, но и в самом атоме пустоты больше, чем элементарных частиц. Несложно представить, что и сами элементарные частицы состоят ещё из более мелких составляющих, как и наше солнце, и планеты состоят из атомов. Таким образом, и в этих элементарных частицах Пустоты тоже больше, чем микро-элементарных частиц. Эта цепочка бесконечна. Таким образом Есть только Пустота и принцип, создающий иллюзию материи. Этот принцип и есть фрактал. Но это ещё не всё, ведь мы ни о чём не можем помыслить в отрыве от нашего Сознания, так всё, что Есть, всё проходит через Него...

Дискретность (по-лат. discretus) означает «прерывистый», состоящий из отдельных частей, раздельный. Синонимы понятия Д. - атомистичность, диффузность и дифференциация, зернистость, корпускулярность, нецельность.

Д. обозначает величины, между отдельными значениями которых заключено лишь какое-то конечное число их других значений. Дискретные признаки – те что могут принимать отдельные значения без промежуточных значений между ними.

Напр., дискретное изменение какой-либо величины во времени - изменение, происходящее через некоторые промежутки времени (скачками)

На рис. 1.1 в виде графиков изображены:

а) непрерывный по уровню и во времени сигнал Хнн;

б) дискретный по уровню и во времени сигнал Хдд.

Непрерывность в философии и науке часто обозначается термином «континуальный» (от лат. continuum – непрерывный, сплошной). Но Н. - близка по смыслу к цельности и целостности, единству, неразрывности и др. Дискретность и Н. суть противоположности, которые отображают как делимость объектов любого рода, а также единство целого. Речь идет о дискретном как о множестве и «скоплении» объектов («атомов» или «корпускул», элементов) разного рода. Но они бывают связаны в системе (т.е. в чем-то целом) многообразными отношениями и связями. Противоположность и связь Д. и Н. здесь относительна и условна, но если не было бы Д., то не было бы Н. и, наоборот.

Абстрактнее, говоря на языке математики, Д. обозначает величины, между отдельными значениями которых заключено лишь какое-то конечное число их других значений. Вместе с тем, на деле, Н. вовсе не монотонно и единообразно, а это все же некое многообразие. В геометрии под Н. обычно понимают совокупность всех точек на прямой или на её отрезке. В теории чисел, - это просто бесконечное множество всех действительных чисел, например, - всех дробей, заключенных между любыми двумя действительными целыми числами (как между 0 и 1 и т.п.) (см.: Большой словарь …, с. 219, 328). В принципе, Д. и Н. – одни из главных понятий математики, например, арифметики и теории чисел, дифференциального и интегрального исчисления (как исчисления бесконечно малых), теории непрерывных функций. В дискретном и интервальном анализе, вычислительной математике и др., как правило, изменение какой-либо физической величины во времени – это изменение, происходящее через определенные промежутки времени (скачками). Д. и Н. - важнейшие понятия наук: от механики и физики до современной теории фракталов, а также и других наук, или они являются прямо их предметами.

Понятие «бесконечно малое» обсуждалось ещё в античные времена в связи с концепцией неделимых атомов, однако в классическую математику не вошло. Вновь оно возродилось с появлением в XVI веке «метода неделимых» — разбиения исследуемой фигуры на бесконечно малые сечения.

По случаю чисто житейского спора между покупщиком и продавцом из-за нескольких кружек вина еще Кеплер занялся геометрическим определением емкости бочкообразных тел. В этих исследованиях видно уже весьма отчетливое представление о бесконечно малых. Так, Кеплер рассматривал площадь круга как сумму бесчисленных весьма малых треугольников или, точнее, как предел такой суммы.

В XVII веке произошла алгебраизация исчисления бесконечно малых. Они стали определяться как числовые величины, которые меньше всякой конечной (положительной) величины и всё же не равны нулю. Искусство анализа заключалось в составлении соотношения, содержащего бесконечно малые (дифференциалы), и затем — в его интегрировании.

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Исчисление бесконечно малых, включающее так называемое Дифференциальное исчисление, а также ему обратное интегральное, принадлежит к числу наиболее плодотворных открытий человеческого ума и составило эпоху в истории точных наук.

Честь изобретения нового исчисления принадлежит двум выдающимся умам XVII ст.: знаменитому английскому натурфилософу и математику

Исааку Ньютону (1649-1727) и философу Лейбницу (1646-1716).

Спор из-за чести открытия Д. исчисления, возникший между английскими и континентальными учеными, однако, настолько любопытен, что необходимо упомянуть о нем. Дело было так: Лейбниц опубликовал Д. исчисление в 1684 г. (раньше Ньютона) в мемуаре под заглавием: "Nova methodus pro maximis et minimis itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur et singulare pro illis calculi genus". В этой работе заключались первые начала Д. исчисления. Начала интегрального исчисления Лейбниц изложил в 1686 г. в мемуаре: "De Geometria recondita et Analysi indivisibilium atque infinitorum". Через два года после того, как Лейбниц обнародовал свои труды, Ньютон выпустил первое издание своих математических начал натуральной философии "Philosophiae naturalis principia mathematica". В этом бессмертном сочинении он объяснил посредством наблюдений и вычислений главные явления природы и преимущественно движения небесных тел. В своих "Principia" Ньютон всюду применяет особый способ, названный им способом флюксий. Этот способ, совпадая по существу с Д. исчислением Лейбница, отличается от последнего только законоположением, что мы увидим далее. Всякому, кто хоть немного познакомится с "Principia" Ньютона, станет очевидно, что способ флюксий не мог быть изобретен и получены такие обширные его применения в короткое время двух лет, прошедших от появления лейбницевской работы. Первостепенные немецкие и английские математики, соединяя с первенством этого важного открытия понятие о народной славе, защищали права родного им геометра. Зачинщиком спора был женевский математик Fatio de Duillier, поселившийся в Лондоне. Подстрекаемый англичанами, с одной стороны, а может быть, и личной неприязнью к Лейбницу, он в письме к Гюйгенсу от 18/28 декабря 1697 г. назвал Ньютона первым изобретателем Д. исчисления и намекнул на то, что Лейбниц заимствовал свой способ из переписки с Ньютоном. Фацио повторил содержание письма в напечатанном сочинении о кривой наискорейшего ската и о теле наименьшего сопротивления. На это оскорбление Лейбниц отвечал с умеренностью, что отнюдь не желает вступать в спор о первенстве с Ньютоном, к которому исполнен глубокого уважения, и надеется, что Ньютон не одобрит поступка Фацио. Нападки Фацио были забыты на несколько лет. Новый случай подал повод к возобновлению спора. В 1704 г. были изданы два сочинения Ньютона: "De quadratura curvarum" и "Enumeratio linearum tertii ordinis". Разбор этих сочинений, помещенный в Лейпцигских Актах и, как думают, с согласия Лейбница, был не совсем благоприятен для Ньютона. Английские математики оскорбились этим отзывом. Один из них, Кейль, в "Philosophical Transactions" за 1708 г. поместил статью, в которой назвал Ньютона первым изобретателем способа флюксий и присовокупил, что Лейбниц переменил только название способа и его знакоположение. Лейбниц, видя, что Кейль явно обвиняет его в присвоении чужого открытия, отнесся письмом к Гансу Слону (Hans Sloane), секретарю Лондонского королевского общества, требуя, чтобы автор этой статьи гласно отрекся от слов своих. На это Кейль отвечал письмом к Слону, что не может отказаться от своего мнения, и прибавил, что Ньютон сообщил о своем способе столько намеков Лейбницу, что даже ум посредственный мог бы разгадать тайну. Это письмо было сообщено Лейбницу, который после того обратился к Королевскому обществу с настоятельной просьбой прекратить необдуманные нападки человека, который желает очернить его доброе имя. Королевское общество нарядило комиссию для рассмотрения спорного дела. Комиссия представила свое мнение, основанное на разных документах, которые и были напечатаны в первый раз в 1712 г. под заглавием: "Commercium epistolicum de Analysi promota" и потом с большими добавлениями в 1722 г.

Донесение комиссии Королевскому обществу, как и следовало ожидать, было благоприятно для Ньютона, причем Ньютон был назван первым изобретателем Д. исчисления, и было заявлено, кроме того, что во всем сказанном Кейлем не заключается ничего оскорбительного для Лейбница. Донесение это раздражило Лейбница, и спор продолжался. Разные безымянные сочинения были изданы на континенте, в которых нападали скорее на Ньютона, чем защищали Лейбница. Английские математики отвечали на них. — Лейбниц, желая, как он выразился, пощупать пульс у англичан, предложил им через других математиков задачу о траекториях. Вопрос состоял в определении кривой линии, пересекающей ряд данных кривых одного и того же рода под углом или постоянным, или изменяющемся по известному закону. Ньютон, к которому собственно относился вызов, немедленно предложил способ для приведения этого вопроса к дифференциальному уравнению. В это время умер Лейбниц (1716). Иван Бернулли, вступаясь за дело знаменитого германского геометра, прочитал решение Ньютона и объявил, что оно вовсе не удовлетворительно, потому что главное затруднение состоит в интегрировании дифференциального уравнения, чего не сделал Ньютон (см. Траектории). — С этого времени, насколько известно, Ньютон, с одной стороны, обеспеченный своей громкой славой, а с другой — по преклонности лет, не принимал уже никакого участия в распре; но некоторые приверженцы и ученики его не покинули поприща прений. Наиболее отличившийся на нем был известный Тейлор. Принимая в соображение все обстоятельства дела, в настоящее время можно с уверенностью признавать первым изобретателем Д. исчисления Ньютона, или, вернее, считать Д. исчисление произведением школы английских математиков. Воздавая должное Ньютону, нет никакого основания, с другой стороны, обвинять Лейбница в плагиате. В науке вообще и в математике в частности часто одного намека на существование некоторого результата в известной области достаточно для того, чтобы выдающийся ум нашел этот результат без дальнейших указаний. Так, очевидно, и было дело с Лейбницем, тем более, что в 1673 г. Лейбниц посетил Лондон и беседовал с английскими математиками, а кроме того, и Ньютон намекал на способ флюксий в своих письмах.

Дифференциальное исчисление, раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций.. «Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение»

Официальной датой рождения дифференциального исчисления можно считать май 1684, когда Лейбниц опубликовал первую статью «Новый метод максимумов и минимумов…»[3]. Эта статья в сжатой и малодоступной форме излагала принципы нового метода, названного дифференциальным исчислением.

закон, установленный Г.Лейбницем: «природа не делает скачков», ибо в ней все процессы сплошь состоят из скачков, и что в ней нет никаких пробелов и все связано благодаря переходам

Понятие дифференциала вводится так:

Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается переменная величина, называется ее дифференциалом

Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:

Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать [при упрощении выражений безразлично одну вместо другой.

Второе требование гласит:

Требуется, чтобы можно было рассматривать кривую линию как совокупность бесконечного множества бесконечно малых прямых линий.

Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривой

В октябре 1675 Лейбниц уже пользуется обозначением Sl для суммы бесконечно малых и операцию, противоположную суммированию, обозначает, подписывая букву d под переменной, а затем рядом с ней: dx

В Новое время, Г.Лейбниц, идя вслед за Аристотелем (384/383-322/321 гг. до н.э.), считал время одним из типов отношений, а Н. - универсальной характеристикой мира: так что, нигде в мире нет никаких перерывов, пробелов и «все связано со всем». Эта концепция Н. целиком вытекает из гипотезы абсолютной связности и слитности мира как целого, в том числе, в топологическом смысле. Связность при этом понимается как наличное взаимодействие, взаимная обусловленность и нерасторжимость любых двух моментов существования объектов любого рода.

Именно Лейбницу принадлежат термины «дифференциал», «дифференциальное исчисление», «дифференциальное уравнение», «функция», «переменная», «постоянная», «координаты», «абсцисса», «алгебраические и трансцендентные кривые», «алгоритм».

Дата добавления: 2014-01-20