Вариационная постановка задачи об изгибе растянуто-изогнутой балки

Из раздела высшей математики «Вариационное исчисление» следует, что задача об изгибе растянуто-изогнутой балки (рис. 3.7.1) может быть представлена задачей на минимум следующего функционала:

, (3.7.6)

где

– функция прогиба балки;

– изгибная жесткость балки;

– заданная поперечная нагрузка на балку;

– заданная осевая сила;

– изгибающие моменты в балке, вызванные действием поперечной нагрузки (могут быть определены по правилам построения эпюры моментов в статически определимой балке);

– длина балки.

Задача состоит в определении функции , для которой функционал принимает минимальное значение (). При этом функция должна удовлетворять дополнительному условию

– шарнирное опирание балки по краям. (3.7.7)

Рис. 3.7.1. К постановке задачи об изгибе балки с растяжением.

Из курса «Вариационное исчисление» следует, что такая задача на минимум эквивалентна следующей краевой задаче:

(3.7.8)

Большинству технических задач, как правило, также соответствуют две эквивалентные математические постановки: вариационная (задача на минимум функционала) и краевая (представленная дифференциальным уравнением и краевыми условиями), имеющих одно и то же решение. По целому ряду соображений вариационная постановка предпочтительнее, поскольку она приводит к более простым и универсальным алгоритмам решения.

Рис. 3.7.2. Схема аппроксимации по методу конечных элементов.

Дата добавления: 2014-01-20