Кастилиано теоремасы

Брустың орын ауыстыруын анықтау үшін Кастилиано теоремасын қолдануға болады: жүйенің потенциялық энергиясының күш бойынша дербес туындысы күш түсірілген нүктенің оның бағыты бойынша орын ауыстыруына тең.

Айтылған тұжырым түсіндіруді қажет етеді. Берілген бағытта орын ауыстыруды проекциясы деп ұйғарайық. Күш түсірілген нүктенің, оның бағыты бойынша орын ауыстыруын

9.3- сурет

сол нүктенің толық орын ауыстыруының күш бағытына проекциясы деп түсіну керек. Кез келген күш жүйесі түсірілген және орын ауыстыру болмайтын тұтастай қатаң бекітілген серпімді денені қарастырайық (9.4-сурет). Сыртқы күштер жұмысының нәтижесінде дене көлемінде деформацияның жинақталған потенциялықэнергиясы U-ға тең болсын. Мысалы, күшке d өсімше берейік. Сонда U потенциялық энергия сәйкес d өсімшеге ие болады да, мына түрге енеді:

9.4- сурет

Енді күш түсіру тәртібін өзгертеміз: алдымен d күшті түсіреміз. Күштің түсу нәтижесіндешағын орын ауыстыру пайда болады, оның d проекциясы күш бағытында да тең. d күштің жұмысы -де тең болады. Сыртқы күштер жүйесін тұтастай түсіреміз. d күш болмаса, жүйенің потенциялық энергиясы қайтадан U мәнін қабылдар еді. Бірақ бұл энергия сыртқы күштер жүйесі әсерінен орын ауыстыру кезінде d күш тудыратын d қосымша жұмыстың шамасына өзгереді. шамасы қайтадан күші бағытында толық орын ауыстыру проекциясын бейнелейді. d көбейтіндісі алдында көбейткіш қойылмайды. Өйткені проекциясында d күш өзгеріссіз қалады.

Күш түсірудің кері тәртібінде потенциялық энергияның өрнегі келесі түрде болады:

(9.4)

Бұл өрнекті (9.4) өрнегіне теңестіріп, көбейтіндісін ескермей алып тастағанда

(9.5)

болады. Сонымен, потенциялық энергияны сыртқы күштердің біреуі бойынша дифференциалдап (қалған күштер өзгеріссіз қалады) сол күштің түсу нүктесінің күш бағыты бойынша орын ауыстыруын табамыз.

(9.5) өрнегінде күшін жалпыланған күш, яғни күш факторыретінде түсіндіруге болады. Сонда шаманы жалпыланған орын ауыстыру, яғни жалпыланған күш жұмыс істейтін геометриялық параметр ретінде қарастыру керек. Егер деп сыртқы моментті m түсінсек (9.5-сурет), онда момент түсірілген нүктенің момент бағытындағы бұрыштық орын ауыстыруын бейнелейді. Егер денеге гидростатикалық қысым күштері түсірілсе, онда потенциялық энергияны қысым бойынша дифференциалдап дене көлемінің өзгерісін анықтаймыз.

9.5- сурет

Кастилиано теоремасын дәлелдеу кезінде дене түріне, сыртқы күштер жүйесіне ешқандай шектеулер қойылған жоқ. Оған қоса, материал Гук заңына бағына ма, жоқ па, ол да қарастырылмайды. Дегенмен, бұл шектеулер бар. Егер күш пен орын ауыстыру арасында сызықты тәуелділік болса, онда сыртқы күштер жүйесінің атқарған жұмысы күштер жүйесі d күшіне дейін не одан кейін түсірілгеніне байланысты әр түрлі болады. (9.4), (9.5) өрнектерінің қосылғыштары бірдей болады. Бұл жағдайда Кастилиано теоремесы орындалмайды. Практикада кездесетін көптеген есептерде күш пен орын ауыстырудың қатынасысызықты болады, ал мұндай есептерді шешуге Кастилиано теоремасын пайдалануға болады. Бастапқы өлшемдері өзгермеу және күш әсерінің тәуелсіздік принциптерін қолдануға болмайтын жүйелерде орын ауыстыруды анықтау кезінде Кастилиано теоремасын жоғарыдай түрде пайдалануға болады.

Дата добавления: 2014-01-20