Мор интегралы

Кастилиано теоремасының көмегімен тек сыртқы күштер түсірілген нүктесінің және тек күш бағытында ғана орын ауыстыруын анықтайтындығымызға қарастырылған мысалдардан көзіміз жетті. Ал практикада жүйенің кез келген нүктелерінің әр түрлі бағытта орын ауыстыруын анықтау керек болады. Бұл қиындықтан шығу оңай. Егер сыртқы күштер түсірілмеген нүктеде орын ауыстыруда анықтау керек болса, онда нүктеге керек бағытта Ж сыртқы күшті түсіреміз. Одан ары жүйенің потенциялық энергиясының өрнегін Ж күшін ескере отырып аламыз. Энергияның Ж күш түсірілген бағыты бойынша орын ауыстырын табамыз. Содан кейін Ж күшін ойша алғанымызды ескеріп, оны нөлге тең дейміз. Ақырында ізделген орын ауыстыруы анықталады. С нүктесінің осі бағытындағы орын ауыстыруын анықтайық. Кез келген сыртқы күштер жүйесі түсірілген брус үшін бағыты бойынша С нүктесіне Ж күшін түсірейік (9.5-сурет).

9.6- сурет

Күш факторларының Ж күшке байланысты шамалар, мысалы, қайсыбір көлденең қимада бұраушы момент мынадай түрде болады: , мұндағы бірінші қосылғыш түсірілген сыртқы әсерінен пайда болатын момент, ал екінші қосылғыш түсірілген Ж күшінің нәтижесінде пайда болған қосымша момент мен брустың ұзындығы бойынша өзгеретідіктен z-тің функциялары екендігі өзінен - өзі белгілі. Осыған ұқсас қалған ішкі күш әсерлері үшін де қосымша қосылғыштар пайда болады: , және т.б. Қосымша , т.б. күш әсерлері Ж күшке пропорционал екендігі айқын. Сонда

, ,

, ,

, , (9.6)

мұндағы , және т.б. байланысты пропорционалдық коэффиценттер, яғни қарастырылмақшы қиманың күйіне, брустың ұзындығына келетін айнымалылар. Егер сыртқы күштер жүйесін тоқтатып және күшті бірлік күшпен ауыстырса, онда және т.б. Демек, - қарастырылатын нүктеге берілген бағытта түсірілген бірлік күштің әсерінен брустың көлденең қимасында пайда болатын ішкі күш факторлары болып шықты.

Энергия өрнегіндегі ішкі күш әсерлерін (9.6) формуладағы жаңа мәндерімен ауыстырамыз. Сонда,

С өрнекті Ж бойынша дифференциалдап, содан кейін Ж=0 ұйғарамыз да, С нүктесінің орын ауыстыруын табамыз:

(9.7)

Алынған интегралдар Мор интегралы деп аталады.

Верещагин тәсілі

Орын ауыстыруды Мор интегралының көмегімен анықтағанда интеграл астындағы функциялардың аналитикалық өрнегін құру қажеттігі оның негізгі кемшілігі блып саналады. Бұл әсіресе көп бөлікті учаскелі бруста орын ауыстыруды анықтағанда тиімсіз. Бірақ брус әрқайсысының қатаңдығы алынған шекте тұрақты болатын тік учаскелерден құралса, онда интегралдауды оңайлатуға болады. Ол бірлік күш әсерлерінің эпюрлері брустың тік сызықты учаскелерінде сызықты болатындығына негізделеді.

Ұзындығы а учаскеде екі функцияның көбейтіндісінен интеграл алу керек болсын делік:

(9.9)

Функциялардың біреуі сызықты болсын: (9.10)

өрнегі мына түрге енеді: .

Бірінші интергал эпюрі ауданын білдіреді (8.12- сурет);. Екінші интеграл ауданның осіне сәйкес статикалық моментін бейнелейді , мұндағы - бірінші эпюрдің ауырлық центрінің координаты. Сонда , немесе

9.7- сурет

Сонымен, Верещагин тәсілі бойынша интегралдау бірінші эпюрдің ауданын өзінің ауырлақ центрінің тұсындағы екінші (сызықты) эпюрдің ординатасына көбейтумен алмастырылады. және функциялары сызықты болғанда көбейту операциясын комутативтік қасиетке ие болады. Бұл жағдайда бірінші эпюрдің ауданы екіншінің ординатасына, немесе екінші эпюрдің ауданы біріншінің ординатасына көбейтіле ме, оған байланыссыз. Мор интегралдарының әрқайсысына т.с.с. көбейтінділер кіреді. Верищагин тәсілін алты интегралдың кез келгеніне қосуға болады, олардың эпюрлерін көбейту июші не бұраушы моменттер,яки болмаса тік және көлденең күштер болатындығына қарамастан бірдей. Айырмашылығы: эпюрлер көбейтіндісі иілудегідей El қатаңдыққа емес, бұралудағы қатаңдыққа, немесе созылу және ығысу кезінде сәйкес EF не GF бөлінеді.

Былай қарағанда Верешагин тәсілі айтарлықтай ықшамдау бермейтін сияқты. Оны қолдау үшін момент эпюрінің ауданы мен ауырлық центрінің орныны есептеу керек. Өйткені күрделі эпюр кезінде Мор әдісіндегідей интигралдау қажет болады. Бірақ практикада ұшырасатын июші моментердің эпюрлері әдетте қарапайым фигураларға: тікбұрышқа, үшбұрышқа, параболалық үшбұрышқа бөлінеді де (9.6 – сурет) олардың ауданының шамасы ω және ауырлық центрінің орны белгілі болады. Бұралу, созылу және ығысу кезінде эпюрлер тіпті қарапайым болады. Олар әдетте сызықты болып және әр түрлі комбинацияда тікбұрыштар мен үшбұрыштардан тұрады.

Жұмыс пен орын ауыстырудың байланысы туралы теоремалар

Жұмыс пен орын ауыстырудың байланысы туралы теорема тура күштер әсерінің тәуелсіздік принципінен тікелей туындап, барлық осы принцип сақталатын жүйелерде орындалады.

9.8- сурет

А нүктесіне күш және В нүктесіне күш түсірілген серпімді денені қарастырамыз (9.7-сурет). Жүйеге күштер әсерінің тәуелсіздік принципін қолдануға болады деп ұйғарып, және күштер тура және кері түсірілгенде істелетін жұмысты анықтаймыз.

Алдымен А нүктеге күшті түсіреміз. Бұл күш жұмыс істейді, мұндағы А нүктесінің бағытында күш тудыратын орын ауыстыруы. Енді В нүктеге күшті түсіреміз. Бұл күш мынадай жұмыс істейді: . Бір мезгілде күш те жұмыс істейді, өйткені күшті түсіру кезінде А нүктесі орын ауыстырады. күштің жұмысы болады, мұндағы - А нүктесінің күш әсерінен (В нүктесіне түсірілген) бағытына орын ауыстыруы.

Сонымен тура күш түсіру кезінде жұмыстардың қосындысын аламыз:

. Енді содан кейін күшті түсіреміз. Сонда болады. Жұмыстарды тексерейік:

. (9.11)

Алынған нәтижені былайша тұжырымдауға болады: бірінші күштің түсу нәтижесінің орын ауыстыруына екінші күштің әсерінен болған жұмысы екінші күштің түсу нүктесінің орын ауыстыруына бірінші күштің әсерінен болған жұмысына тең. Бұл байланыстардың өзара байланыс теоремасы делінеді. Теореманы және жай күштер емес жалпыланған күштер, ал және жалпыланған орын ауыстыруы деп жалпылама күйге түрлендіруге болады.

9.9- сурет

Кейде бұл теореманы орын ауыстырудың өзара байланыс теоремасы деп те қарастырылады. Егер =болса, (9.9) өрнегі мына түрге енеді:

=. (9.12)

В нүктесіне түсірілген күш әсерінен А нүктесінің орын ауыстыруы А нүктесіне түсірілген дәл сондай күштің әсерінен В нүктесінің орын ауыстыруына тең болады.

Айтылған тұжырымды А және В нүктелерге кезекпе – кезек Р күш түсірілген арқалықтың мысалынан көрсетуге болады (9.8-сурет). Орын ауыстырудың өзара байланыс теоремасы сәйкес суреттегі және кескінділер өзара тең.

10-ДӘРІС

10. Статикалық анықталмаған жүйелер

1. Негізгі жүйелерді таңдау. Сырықтар жүйесінің құрылымын талдау.

Анықталмаудәрежесі мен байланыстар.

2. Статикалық анықталмаған жүйелерді есептеу. Канондық теңдеу.

3. Анықталмаған жүйені күш әдісімен есептеу.

Негізгі жүйелерді таңдау. Статикалық анықталмау дәрежесі

Стерженьдік жүйелердің оңай зерттелетін тобына жазық жүйелер жатады. Жазық рамада немесе фермада барлық құраушы элементтердің осьтері бір жазықтықта орналасып, бір мезгілде қиманың бас жазықтығы болады. Осы жазақтықта барлық сыртқы күштердің әрі тіректің әсері болады.

Жазық жүйелермен бірге жазық-кеңістік жүйелер де қарастырылады. Мұндай жүйеде құраушы элементтердің осьтері деформацияланбаған күйінде жазық жүйе сияқты бір жазықтықта орналасады.

Ал сыртқы күш әсерлері перпендикуляр жазықтыққа түсіріледі. Стерженьдік жүйлердің осы екі тобына жатпайтын стреженьдік жүйлерді кеңістік жүйелер дейді.

Рамалар мен фермаларды статикалық анықталатын және статикалық анықталмайтын деп бөледі. Статикалық анықталатын жүйелерде тірек әсері тепе-теңдік теңдеуі көмегімен анықталып, содан кейін табылған тірек әсері негізінде қималар әдісімен кез келген қимадағы ішкі күш әсерлерін де табуға болады.

Сыртқы және барлық ішкі күш әсерлері қималар әдісі және тепе-теңдік теңдеулерімен анықталмайтын жүйе статикалық анықталмайтын жүйе деп аталады.

Қарастырылатын жүйеге арналып құралатын белгісіз (тірек әсері, ішкі күш әсері) және тәуелсіз статикалық теңдеулер санының арасындағы айырмасын статикалық анықталмағандық дәрежесі, не саны деп атайды. Осы санға байланысты жүйелер бір, екі, үш,..., п рет статикалық анықталмаған делінеді.

Анықталмаған жүйені күш әдісімен есептеу

Стержендік және рамалық жүйелердің статикалық анықталмағандығын анықтауда күш әдісі кең түрде қолданылады. Оның мәнісі мынада: берілген статикалық анықталмайтын жүйе сыртқы және өзара қосымша байланыстардан босатылып, олардың әсері күштермен және моменттермен ауыстырылады. Олардың шамасын байланыстан босатылған жүйеге қойылатын орын ауыстыру шектеулерге сәйкес келетіндей етіп таңдайды. Сонымен, көрсетілген әдіспен шешу кезінде күш белгісіз болады. «Күш әдісі» деп аталуы да содан.

Сонымен, кез келген раманың статикалық анықталмағандығын анықтау қосымша байланыстарды алып тастаудан басталады. Қосымша байланыстардан босатылған жүйе статикалық анықталған болады. Ол негізгі жүйе деп аталады.

Күш әдісінің канондық теңдеулері

Белгісіз күш әсерлерін анықтау үшін теңдеулер құрастырамыз. Теңдеудегі арқылы жүйе нүктелерінің өзара орынауыстыруы белгіленеді. Бірінші индекс орынауыстыру бағытын, екінші индекс орынауыстыруды тудыратын күшке сәйкес келеді.

Бұл теңдеулерді күш әсерінің канондық теңдеулері деп атайды. Олардың саны жүйенің статистикалық анықталмағандық дәрежесіне тең. Кейбір жағдайда кейбір белгісіздердің мәнін бірден көрсету мүмкін болса, онда бірге шешілетін теңдеулердің саны азаяды. Канондық теңдеуге кіретін шамалары негізгі жүйеде берілген сыртқы күштер әсерінен 1,2... бағыттарындағы орынауыстыруды білдіреді. Олар берілген күштердің эпюраларын сәйкес бірлік эпюраларға көбейту арқылы анықталады.

11-ДӘРІС

11. Пластикалық және беріктік теориялары

1. Беріктіктің негізгі теориясы. Гипотезалардың қолданылуы Барабар кернеу.

2. Беріктік гипотезалары (І, ІІ, ІІІ болжамдар).

3. Беріктіктің IY- энергетикалық теориясы.Мор болжамы.

Беріктіктің бірінші, екінші және үшінші классикалық теориялары.

Әр түрлі конструкциялар мен машиналардың беріктігін бағалау кезінде олардың көптеген элементтері мен бөлшектері күрделі кернеулі күй де жұмыс істейтінін ескеру қажет.

Әсер ететін күштің ұлғаюына сәйкес бас кернеулер де өсіп, белгілі бір мәнінде материалдың зерттеу нүктесінде қауіпті немесе шекті кернеулі күйі болады.

Пластикалық материал үшін шекті кернеулі күйге анық байқалатын қалдық (пластикалық) деформация кернеулі күйі жатады. Мор материал үшін шекті кернеулі күйге қирау басы болатын күй алынады.

Бұл жағдайда бас кернеудің шекті мәні тікелей тәжірибемен анықталып, ол пластикалық материал үшін σ_{А -}аққыштық шегі, ал морт материал үшін σ_В беріктік шегі алынады. Сонымен, σ кернеудің есептеу шамасы белгілі болса, онда қабылданған шектер бойынша қор коэффициенттері тең болады.

n_А = ; n_σ = ; (11.1)

Кез келген материалдың кернеулік күйінің қауіпті дәрежесін негізінен созылу және сығылу кезіндегі тәжірибеге сүйене отырып бағалайтын есептеу методикасын жасауға тіреледі. Бұл маңызды міндетті беріктік теориясы деп аталатын теория көмегімен шешеді.

Кейінгі уақытта мұндай теорияларды шекті кернеулі күйлер теориялары деп атайды.

Мұндай теориялар: егер бас кернеулерді белгілі пропорционал бір санға арттырғанда, олар бір мезгілде шекті болса, кез келген екі кернеулі күйдің беріктігі мен қауіптілігі бірдей болып саналады делінген алғы шарттар негізінде құрылады.

Бұл жағдайда беріктік қоры коэффициенттері екі кернеулік күй үшін қарастырылған жағдайда бірдей болады. Қауіптілігі бірдей кернеулі күйдің бірі ретінде эксперимент жүргізгенде жан-жақты зерттелген (10.1, а-сурет) бір осьтік созылу, ал екіншісіне алынған материалдың қауіптілігін анықтауға қажет кернеулі күй алынады. Алдағы уақытта зерттелетін кернеулі күй беріліп, мына теңсіздік σ₁ ≥σ₂ ≥σ₃ (а) сақталғанда ғана (σ₁,σ₂,σ₃) үш бас кернеу (10.1, б-сурет) анықталады.

Қабылданған алғышартты пайдалану үшін қауіптілігі бірдей екі күйдің бас кернеулерін белгілі бір тәуелділікпен байланыстыру қажет. Ол тәуелділік қарастырылатын екі күйдің: материал қирауының немесе шекті кернеулі күйге ауысуының себебі белгілі кезде мүмкін болады.

Бұл жағдай беріктіктің жалпы бір теориясын құруға мүмкіндік бермей шекті кернеулі күйдің пайда болуы туралы әр түрлі болжамдар негізінде көп теориялар тудырды.

Беріктіктің бірінші теориясы мынадай болжамға негізделді: шекті кернеулі күйдің тууына ең жоғарғы тік кернеулер себепші болады. Әдетте бұл теорияны ең жоғарғы тік кернеулер теориясы деп атайды.

Алынған болжамға сәйкес келесі шарт сақталуы керек:

(11.2)

мұндағы σ₁ – зерттелетін кернеулі күй үшін бас кернеулердің ең жоғарғы мәні;

σ₀ – бір осьті созылудың шекті кернеуі. Ең жоғарғы кернеулер теориясының басты кемшілігі: басқа екі σ₂,σ₃ бас кернеу ескерілмей қалады. Ал, шын мәнінде бұл кернеулер материал беріктігіне айтарлықтай әсер етеді.

Беріктіктің екінші теориясы мынадай болжамға негізделеді: материалда шекті кернеулі күйдің тууына ең үлкен ұзару себепші болады. Бұл теория ең үлкен ұзару теориясы деп аталады.

Көлемдік кернеулі күй үшін бас деформациялар ε_{1 >} ε_2> ε₃ болғанда алынған болжамды қанағаттандыратын жалпы шарт былай жазылады:

, (11.3)

мұндағы ε₁ – зерттелетін кернеулі күй үшін ең үлкен ұзару шамасы; ε₀ – бір осьті созылу тәжірибесінен алынған салыстырмалы ұзарудың шекті мәні.

ε және ε₀-ді анықтау кезінде Гуктің белгілі тәуелділігі қолданылады, онда

(11.4)

Бұл шартты σ есеп оң болғанда ғана қолдануға болады. Екінші теорияның біріншіге қарағанда артықшылығы онда барлық бас кернеулердің ықпалы ескеріледі.

Бірінші сияқты, екінші теория да морт материалдар үшін дұрыс.

Беріктіктің үшінші теориясы мынадай болжамға негізделеді: шекті кернеулі күйдің пайда болуына ең үлкен жанама кернеулер себепші болады. Сондықтан оны ең үлкен жанама кернеулер теориясы деп атайды.

Теорияны қанағаттандыратын жалпы шарт мына түрде болады:

τ_max (11.5)

мұндағы, τ_max – зерттелетін кернеулі күй үшін ең үлкен жанама кернеу шамасы, τ₀ – жанама кернеудің қарапайым созылу тәжірбиесінен анықталған шекті мәні.

Бұл шартты былай жазуға болады:

(в)

Теңсіздіктің сол жағын σ_есеп деп белгілеп, есептеу формуласын мына түрде жазамыз:

(11.6)

Үшінші теорияның негізгі кемшілігі: көлемдік кернеулі күйде σ₂ бас кернеудің ықпалы ескерілмей қалады.

Ең үлкен жанама кернеулер теориясы созылуға және сығылуға бірдей қарсыласатын пластикалық материалдардың беріктігін бағалауда да кең пайдаланылады.

Беріктіктің IY- энергетикалық теориясы

Төртінші беріктік жорамалын энергетикалық беріктік теориясы деп атайды, өйткені бұл теорияда деформацияның меншікті потенциалдық энергиясы критерийі ретінде қабылданған.

Меншікті пішін өзгеру потенциалдық энергиясының қауіпті шегі и_ф материалды бір бағытта созу немесе сығу нәтижесінде анықталады. Төртінші теория бойынша материалдың ағу шарты келесі түрде жазылады и_ф= (и_ф)_аш. Теңдіктің екі жағына да берітік қоры коэффициенттеріне бөліп, беріктік шартын алуға болады: и_ф[и_ф]

Материалдың деформациялануы Гук заңына бағынышты болса:

ал бір бағытта созылғанда яғни

Сонымен, төртінші теория бойынша қирау шарты төмендегідей:

ал беріктік шарты:

немесе

Төртінші теория пластикалық материалдың серпімді күйінен пластикалық күйіне ауысу шартын анықтауға ыңғайлы. Бұл теориямен морт материалды есептеуге болмайды.

Мордың беріктік теориясы.

Мор теориясының басқа теориялардан өзгешелігі: жеке болжамдар қарастырылмайды, экспреименттік деректер негізінде материалдардың беріктік қасиеттерінің кернеулі күйіне қатысты бір тәуелділік анықталады. Мұндай тәуелділікті алу және негіздеу үшін (Мор ұсынған) кернеулер шеңберін пайдаланады. Көлемдік кернеулі күй үшін әдетте үш шеңбер салады.

12-ДӘРІС

12. Күрделі қарсыласулар.

1. Күрделі қарсыласулар (күрделі деформациялар). Қиғаш иілу, ортадан тыс созылу- сығылу.

2. Иілу мен бұралудың біріккен әсері. Бейтарап сызық орналасуы. Қауіпті қималар мен қауіпті нүктелерді анықтау.

3. Цилиндр тәрізді серіппені созылу-сығылуға сынау.

Күрделі қарсыласулар. Қиғаш иілу.

Күрделі деформация (күрделі қарсыласулар) жағдайында дененің қимасында бірнеше ішкі күш қатар пайда болады. Күрделі деформация кезіндегі беріктік есептері күштердің тәуелсіздігі болжамына сай қарапайым деформациялар қосындысы ретінде қарастырылады. Беріктікке есептеу кезінде әр ішкі күш эпюралары тұрғызылып, олардан қауіпті қима мен қауіпті нүкте анықталады.

Басты жазықтықтардан басқа, бойлық ось арқылы ететін, кез келген жазықтықтарда жатқан сыртқы күштердің әсерінен конструкция элементі қиғаш иіледі. Қиғаш иілген арқалықты беріктікке есептеу тәртібін қарастырайық. Бір ұшы қатаң бекітілген арқалықтың екінші ұшына Р күші әсер етсін. Күштің әсер ету сызығы X осімен а бұрышын жасап өтетіндіктен арқалық қиғаш иіледі (1-сурет). Сыртқы күшті басты осьтерге проекциялап құраушыларын табайық:

Р_х = Р соs а; Р_у = Р sin а.

Құраушы Р_х, Р_у күштерінің әсерінен берілген арқалык өзара перпендикуляр басты жазықтықтарда жазық иіліп, көлденең қималарында июші моменттері пайда болады:

М_х = Р_yz = Pz sіп а = Мsin а; және М, = Р_хz = Рzсоs а = М соs а,

мұндағы М = Рz.

Тірек қимасында жатқан Е нүктесіндегі кернеуді табу үшін күш әрекеттерінің тәуелсіздік принципін пайдаланамыз. Вертикаль және горизонталь жазықтықтардағы М_х пен М_у- тің әсерінен Е нүктесінде пайда болған кернеу:

б; б

Нүктедегі толық кернеу екі кернеудің қосындысына тең.

б = +

мұндағы х_е, у_е — Е нүктесінің координаталары.

Алынған формуланы пайдаланып, кез келген пішінді қиманың барлық нүктелеріндегі кернеулерді анықтауға болады. Қимадағы кернеулер х, у координаталарына тәуелді болғандықтан, қауіпті тіректік қимадағы ен үлкен созушы кернеу әсер етіп тұрған бұрыштық нүкте мен ең үлкен сығушы кернеу әсер етіп түрған бұрыштық нүктелері қауіпті болып саналады.

Арқалықтың беріктігін А нүктесі үшін беріктік шартын құрып тексереміз:

б_іА = у_а + х_а [б]

мұндағы х_а = х_мах, у_а = у_тлх- А нүктесінің координаталарыболғандықтан

б_іА = + [б]

Бұрыштық нүктелеріндегі кернеулердің абсолют шамалары бірдей.

Арқалық морт материалдан жасалса, оның беріктігі А нүктесімен қатар С нүктесі бойынша да тексеріледі.

Яғни, сыртқы күштің әсер ету сызығы мен бейтарап сызық өзара перпендикуляр.

Қиғаш иілген арқалықтың деформациясы, тік иілу кезіндегі сияқты иілу осінің дифференциалдық теңдеуін интегралдау немесе басқа әдістермен анықталады. Қиғаш иілген арқалықтың кез келген қимасындағы иілу мөлшері, басты жазыктықтардағы жазық иілу мөлшерлерінің геометриялық қосындысына тең

у

мұндағы у _вер — вертикаль жазықтықтағы иілу мөлшері,

у_гор — горизонталь жазықтықтагы иілу мөлшері.

Қатаңдық шарты келесі түрде жазылады:

у

мұндағы [у] — мүмкіндік иілу мөлшері.

Цилиндр тәрізді серіппені созылу-сығылуға сынау.

Цилиндр тєрізді орамды серіппе серпімді дене болғандықтан, машина мен жабдықтар жасау өндірісінде жиі қолданылады.

Созылу-сығылу кезіндегі серіппені есептеу үшін серіппенің негізгі геометриялық өлшемдері керек: орам диаметрі; серіппенің орташа диаметрі мен материалы; орам саны; орамның көлбеу орналасу бұрышы (1-сурет).

Егер созылған серіппе орамының кез-келген көлденең қимасында әсер етуші F күші төрт ішкі күш факторымен теңесетінін көреміз: бойлық күшпен N=Fsina; көлденең күшпен Q=Fcosa; июші моментпен M_и=(FD/2)sina; бұраушы моментпен M_б=(FD/2)cosa, мұндағы a -орамның көлбеу орналасу бұрышы. Серіппе үшін бойлық күш пен июші момент үлкен маңызы болмайды, сондықтан есептеулер тек көлденең күш Q=F және бұраушы моментпен M=FD жүргізіледі. (соsa=1).

1-сурет

Бірінші жанама кернеу көлденең күшке байланысты, ол көлденең қимада біртекті таралады. Екінші бұраушы моментке байланысты жанама кернеу орамның көлденең қимасында өзгермелі; қиманың шеткі нүктелеріндегі оның мәндері үлкен болады. Жанама кернеу эпюраларына қарап, жанама кернеу қимадағы шамасының өзгерісін көреміз. (2-сурет)

Жанама кернеулердің қосындысынан ең үлкен кернеу орам қимасының ішкі жақтағы шеткі нүктесінде пайда болатыны көрінеді.

_max= (M _б,/W)+Q/A = 8FD(1+d/2D)/ d^3;

2-сурет.

мұндағы D/d=c –серіппе индексі. Көп жағдайда с -индексі серіппелерде 4,..,12-ге тең болады, сондықтан 1/2с аз шама болады, оны есептеу кезінде ескермейміз. Осы себептерге байланысты серіппе үшін кернеу жуықталған формуламен шығарылады:

_max= 8FD/ d³= 8Fc/ d²

Серіппе беріктігі с – индексінен басқа орамның көлбеу орналасу бұрышына байланысты. Сондықтан, формулаға мынадай енгізу жасаймыз:

k= 1+1,5/c

енді серіппеге арналған беріктік шартын қарастырамыз:

_max= k8fd / d² < []

мұндағы []= 400…1000 н/мм² –болаттың мүмкін жанама кернеуі, себебі серіппе ең жоғары сапалы көміртекті және легирленген болаттардан жасалады. беріктік шартынан серіппенің орам диаметрін анықтауға болады:

Сыртқы Ғ күшінің әсерінен серіппе биіктігі өзгереді, ол өзгерісті (ұзаруы немесе қысқаруы) серіппенің отыруы деп атаймыз.Оның мәні энергияның сақталу заңынан күш жұмысы мен потенциялдық энергияны теңестіру арқылы былайша анықталады:

= 8ҒD³п/Gd⁴= 8Fc³п/Gd

мұндағы п - серіппе орамының саны;

Gd/8c³п - өрнегі серіппе қатаңдығын білдіреді.

13-ДӘРІС

13. Серпімді жүйенің орнықтылығы.

1. Конструкция бөлшектерінің орнықтылығы. Критикалық (кризистік) күштің мәні.

2. Эйлер формуласы. Тәжірибелік Ясинский формуласы. Орнықтылықты практикалық есептеу.

3. Стержендердің майысқақтығы. Критикалық кернеулерді анықтау.

Негізгі түсініктер. Критикалық күш туралы ұғым

Құрылымдардың немесе оның элементтерінің орнықтылығын қарастырайық. Инженерлік объектілерге күштерден басқа, белгілі тепе-теңдік күйінен не қозғалысынан шығаруға тырысатын қосымша әсер (ұйытқу) етеді.

Егер аз ұйытқу жүйенің есептелген (ұйытқусыз) күйінен шамалы ауытқуын тудырса, онда жүйе орнықты болады. Керісінше аз ұйытқу жүйенің есептелген күйінен үлкен ауытқуын тудырса, онда бұл жүйе орнықсыз болады

Осыған ұқсас құбылыстарды сығылған стерженьнің тепе-теңдігін зерттеу кезінде де байқауға болады. Қайсыбір критикалық (кризистік) мәнінен Р <Р _кр күші сығу күші кезінде сығылған стерженьге аз ұйытқу әсер етпейді. Аз қосымша әсерлер стерженьді тік сызықты күйінен шамалы ғана ауытқытады. Ал Р>Р_кр кезінде сығылған стерженьнің түзу сызықты формасы орнықты емес. Өте аз кездейсоқ әсерлер үлкен ауытқуды тудырады. Ұйытқу әсері тоқталғаннан кейін стержень көлденең әсерден иілген қалпында қалады. Мұндай күйді бойлық иілу деп атайды.

Бойлық иілудің пайда болуы қауіпті, өйткені сығылу күшінің шамалы өсуі кезінде майысу кенет артады. Майысу мен күштер өзара сызықты емес тәуелділікпен байланысты. Майысудың кенет артуы кернеулердің тез өсуін арттырып, олар өз кезегінде деформацияны жылдамдатады да стерженьнің қирауына әкеп соғады. Жіңішке (иілгіш) стерженьдер материал үшін қауіпті деп саналмайтын шағын сығу кернеулері кезінде орнықтылығын жоғалтады. Сонымен, бойлық иілу қауіпті болатындықтан, оны болдырмау қажет. Сығылған стерженьдердің көлденең қимасын таза сығылу кезіндегі беріктік шартынан емес, сығу кернеулері кризистік кернеулерден кіші болу шартынан тағайындау керек: бб_кр = Р_кр/ А

Әр түрлі серпімді жүйелердің орнықтылығын жоғалту жағдайлары қарастырайық.. Күш кризистік мәнінен асқанда сығылған стержень майысады. Сығу күші сығылуды және июші моменттерді тудырады. Гидростатикалық қысым осерінен барлық қима центрлік сығылуға үшырайды. Бірақ қысымның қайсібір мәнінде Р>Р_кр мәнінде сақина дөнгелек пішінді орнықтылығын жоғалтады да, иіліп, эллипске айналады.

Түйіндеріне күш түсірілген рама көрсетілген. Бұл күштер тіреулерде центрлік сығылуды тудырады. Күштер кризистік мәнінен асысымен рама лезде иіліп, оның түйіндері бүйірге жылжиды. Раманың бастапқы тепе-теңдігінің орнықтылығы жоғалады.

Енді орнықтылықтың жоғалуының басқа жағдайы қарастырылған. Алдымен, аркалық вертикаль жазықтықта иіледі. Күш кризистік мәнінен асқанда, иілудің жазық формасы орнықсыз болып, горизонталь жазықтықта косымша иілу және бұралу пайда болады.

Егер жүйеге бір емес, бірнеше күш немесе күрделі күш түсірілсе, онда бір параметр таңдалып барлық күштер жүйесі осы параметрге пропорционал өзгереді деп есептеледі.

Критикалық күшті Эйлер формуласымен анықтау.

Серпімді жүйелердің тепе-теңдік орнықтылығын зерттеу үшін бірнеше әдістер қолданылады, инженерлік практикада кездесетін есептер Эйлер әдісімен шешіледі.

Эйлер әдісі серпімді жүйенің мүмкін болатын тепе-теңдік формасын тармақтап талдауға негізделеді. Оны центрлік сығылған идеал тік стержень үшін қарастырайық. Аз сығу күшінде стерженьнід тік сызықты формасы ориықты болады. Қайсыбір кризистік мәнінен асатын үлкен күштер кезінде ол орнықсыз, ал қисық сызықты формасы орнықты болады.

Сонымен Р>Р_кр кезінде теориялық тұрғыда тепе-теңдіктің екі түрі болуы мүмкін. Тепе-теңдік формасының тармақталуы басталатын сығу күшінің ең аз мәні кризистік күш деп аталады. Демек, кризистік күш кезінде бастапқы түзу сызықты формамен бірге аралас, барынша жақын қисайған түрі болуы мүмкін. Эйлердің анықтауы бойынша кризистік күш деп бағананың ең аз қисаюына қажет күшті айтамыз.

Р_кр=n²EJ/l² немесе Р_кр=п²EJ/(l)²

мұндағы l- бағананың келтірілген ұзындығы.

-стержендердің бекітулеріне байланысты коэффициент, келтіру коэффициенті деп аталады.

Бұл формуланы 1744 жылы Леонард Эйлер тұжырымдаған, сондықтан оны Эйлер формуласы деп атайды. Анықталған кризистік күш Эйлер күші деп аталады.

Талғаусыз тепе-теңдік күйдегі тік кернеу:

б=

мұндағы -стержень майысқақтығы

Иілгіштік шамасы аз және орташа стерженьдер үшін Ясинский формуласы қолданылады:

б_кр =а-в

Орнықтылыққа мүмкіндік кернеуін сығылудағы мүмкін кернеуді - кеміту коэффициенті арқылы анықтайды. ,- сандық мәндері материалға сәйкес арнайы таблицада беріледі.

14-ДӘРІС

14. Уақытқа байланысты дүркінді өзгеретін кернеу жағдайындағы беріктік.

1. Уақытқа байланысты циклды өзгеретін кернеу және оның әсері. Айнымалы кернеулер циклдерінің сипаттамасы. Қажып қирау механизмі. Қажу-тозу, төзімділік шегі.

2. Айнымалы кернеу әсері кезіндегі беріктік есептері.

Уақытқа байланысты циклды өзгеретін кернеу және оның әсері.

Машина бөлшектерінің көпшілігі қызметін атқару кезінде уақытқа тәуелді периодты түрде өзгертетін күштер әсеріне ұшырайды.

Айнымалы-қайталбалы күштің әсеріне машина бөлшектерінің сынуы көлемдерінде сызаттардың пайда болып қажуына байланысты.

Машина бөлшегіне әсер етуші күштер әр түрлі заңдылықтармен цикл өзгеруі мүмкін. Кернеу циклі келесі шамалармен сипатталады:

1. Орташа кернеу:

Орташа кернеу берілген цикл үшін тұрақты шама; оң және теріс таңбалы болуы мүмкін.

2. Цикл амплитудасы

Цикл амплетудасы кернеудің уақытқа байланысты айнымалы шама екенін көрсетеді.

3. Ең үлкен кернеу:

4. Ең кіші кернеу:

Ең кіші кернеудің ең улкен кернеуге (таңбалры ескеріледі) қатынасы циклдің сипаттмасы немесе циклдің асимметриялық коэффциенті деп аталады.

Асимметриялық коэффициенті болатын цикл симмертиялық цикл деп аталады. Мұндағы

Асимметриялық коэффициенті болатын цикл пульсирлік (немесе нөлден басталған) цикл деп аталады. Мұндағы

Кернеу шамасы уақытқа байланысты өзгермей тұрақты болып қалса, мұндағы Демек, статикалық тұрақты кернеу айнымалы циклдің жеке жағдайы ретінде қарастырылады.

Цикл көп қайталанғанда, материал қарсыласу қабілетінен ажырамаса, онда циклдің ең үлкен кернеуі материалдың қажу шегі немесе төзімділік шегі деп аталады.

15-ДӘРІС

15. Динамикалық күш әсері

1. Динамикалық күш. Даламбер принципі. Динамикалық коэффициент. Динамикалық кернеу.
2. Динамикалық күш әсерінің кейбір есептері. Соққы әсерін есептеу. Соққыға тұтқырлықты анықтау. Соққы кезіндегі беріктік есептері.

Динамикалық күш

Шамасы жылдам өзгеретін күш динамикалық күш деп аталады. Динамикалық күштер әсерінен конструкция немесе оның бөлшектері елеулі тербелістерге ұшырап, тербеліс жылдамдығының өзгеруіне байланысты инерция күші пайда болады. Бұл күш бастапқы күшке қарағанда бірнеше есе көп болады. Динамикалық күштер, соққы, айнымалы-қайталанбалы күштер, т.б. күштер деп бірнеше түрге бөлінеді. Мұндай күштердің әсерін есептеу күрделі.

Динамикалық күшті есептеу үшін теориялық механикадан Даламбер принципі қолданылады. Бұл принцип бойынша, қозғалыстағы кез-келген дене сыртқы және инерция күштерінің әсерінен қандай да бір мезетте лездік тепе-теңдікте болады деп қарастыруға болады. Егер жүйенің инерция күшін анықтау мүмкін болмаса, деформацияны анықтау үшін энергияның сақталу заңы қолданылады. Динамикалық күш әсерінен материалдың механикалық қасиеттері өзгереді. Созымды материалдардың өзі соққы кезінде морттық қасиет көрсетуі мүмкін.

Белгілі бір биіктіктен құлаған дененің әсерінен болатын деформация:

мұндағы к - динамикалық коэффициент,

- статикалық деформация.

Сондай-ақ динамикалық кернеу:

Соққы әсерін есептеу. Соққы кезіндегі динамикалық тұтқырлық

Соққыға қарсыласу қабілетін білдіретін шаманы динамикалық тұтқырлық деп атайды. Оның мәні былайша есептеледі:

Соққы әсерінен дене сынады, ол үшін механикалық энергия жұмсалады, яғни механикалық жұмыс жасалады. Кенеттен күш әсер еткенде дененің қарсыласу қабілеті оған жұмсалатын күш шамасының ойылған көлденең қима ауданына қатынасына тең.

Ойылған көлденең қима ауданы:

S=bh₁

мұндағы b-үлгі қимасының ені,

h₁- үлгі қимасының биіктігі.

Алынған үлгі осінен маятниктің ең жоғары көтерілу биіктігін және жұмыстан кейінгі яғни үлгіні сындырғаннан кейінгі оның көтерілу биіктігін өлшеп, олардың айырмасын табамыз:

Н_р= Н - h

Сынақ кезінде жүк бұрышқа, соққыдан кейін инерция бойынша бұрышқа көтеріледі. Онда

Н_р= H-h= l(cos-cos )

Жұмсалатын күш жұмысы:

А=GH_p=Gl (cos )

Енді динамикалық тұтқырлықты анықтаймыз:

a =

Cоққы кезіндегі материал тұтқырлығының өлшем бірлігі: Дж/м²

Дата добавления: 2014-01-20