Матрицы

Числовой матрицей размера называют таблицу из строк и столбцов, состоящую из чисел и имеющую вид

.

В случае матрица называется квадратной.

Частным случаем матрицы можно считать -мерный вектор, заданный своими координатами. Его можно рассматривать либо как матрицу-строку размером , либо как матрицу-столбец размером .

Матрицы широко применяются в социологических исследованиях. Например, составляются матрицы «объект-признак», когда сравниваются некоторые объекты по ряду признаков:

Матрицы имеют приложения в экономике при построении математической модели межотраслевого баланса производства и распределения продукции. В частности, в этой модели строится квадратная таблица учета продукции, производимой и потребляемой различными отраслями. Для этого составляют квадратную таблицу, размер которой определяется количеством отраслей (n):

. Каждая отрасль () не только производит какую-то продукцию, но и потребляет продукцию. Например, легкая промышленность потребляет энергию (энергетика), станки (машиностроение), а также частично потребляет свою же собственную продукцию –изделия легкой промышленности. Машиностроение потребляет энергию (энергетика), продукцию легкой промышленности и частично свою собственную продукцию, так как, например, швейные машинки, необходимые легкой промышленности, изготавливаются машиностроением с помощью станков, произведенных машиностроением для машиностроения. …

Квадратная матрица учета продукции состоит из элементов , представляющих стоимость части продукции, произведенной в i- й отрасли для нужд j- й отрасли.

Действия над матрицами.

1. Для матриц можно определить умножение на число. Для этого на данное число умножаются все элементы матрицы.

.

2. Для матриц одного размера определяется операция сложения: новая матрица имеет элементами суммы соответствующих элементов исходных матриц.

.

3. Для того чтобы умножить одну матрицу на другую, необходимо соответствие размеров матриц: количество столбцов первой матрицы должно совпадать с количеством строк второй матрицы. Пусть матрица размера с элементами умножена на матрицу размера с элементами Результатом умножения является матрица размера , элементы которой получаются следующим образом:

Заметим, что умножение матриц некоммутативно, то есть, в общем случае даже когда и – квадратные матрицы одного размера.

mult.wxm

4. Транспонирование матрицы. Если , то транспонированной к этой матрице является матрица . Таким образом, для транспонирования следует сделать строки столбцами, а столбцы строками. В случае, когда матрица квадратная, получение транспонированной матрицы означает симметричное отражение элементов исходной матрицы относительно диагонали, соединяющей левый верхний и правый нижний элементы матрицы (главной диагонали).

Дата добавления: 2014-01-20