Определители

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, называемое определителем матрицы и обозначаемое

.

В определителе различают главную диагональ (слева направо, сверху вниз) и побочную диагональ (слева направо, снизу вверх).

Определитель вычисляется методом разложения по ряду (строке или столбцу) путем сведения определителя -го порядка к линейной комбинации определителей -го порядка. Каждый новый определитель также сводится к вычислению определителей меньшего – уже -го – порядка…. И так последовательно вычисление определителя любого порядка сведется к вычислению определителей 2-го порядка.

Вычисление определителя 2-го порядка: , то есть от произведения чисел на главной диагонали вычитается произведение чисел на побочной диагонали.

Для вычисления определителя высокого порядка следует ввести понятие минора. Минором , соответствующим элементу называют определитель, полученный из исходного определителя вычеркиванием -й строки и -го столбца.

Теперь в соответствии с правилом вычисления определителя

,

где первое выражение – разложение заданного определителя по -й строке, а второе – по -му столбцу. Способ выбора строки или столбца произволен, однако при устном вычислении проще выбирать тот ряд, где большее число нулевых элементов.

В частности, вычисление определителя 3-го порядка сводится к сумме шести произведений по три элемента, лежащих на разных строках и столбцах. Произведения берутся со знаком +, если эти три элемента лежат на главной диагонали или являются вершинами треугольника с основанием, параллельным главной диагонали. Произведения берутся со знаком -, если три элемента лежат на побочной диагонали или являются вершинами треугольника с основанием, параллельным побочной диагонали:

,

Можно вычислять определитель третьего порядка также следующим способом: присоединим к исходной матрице снизу две ее первых строки и пройдем по направлениям главной диагонали, перемножая стоящие на соответствующих прямых три элемента и складывая со знаком +, затем пройдем по направлениям побочной диагонали, перемножая стоящие на соответствующих прямых три элемента и складывая со знаком –.

Правила вычисления основаны на следующих свойствах определителей.

1. При перестановке двух строк или двух столбцов знак определителя меняется на противоположный:

.

2. Из строки или столбца можно выносить общий множитель за знак определителя:.

3. Если каждый элемент строки (столбца) представим в виде суммы, то такой определитель равен сумме двух определителей, у которых в этой строке (столбце) стоят соответствующие слагаемые:

.

Из представленных свойств следуют новые свойства:

4. Определитель с двумя строками (столбцами), отличающимися коэффициентом, равен нулю.

5. Определитель, у которого есть строка (столбец), представляющая линейную комбинацию других строк (столбцов), равен нулю.

6. Если заменить в определителе строки на столбцы, а столбцы на строки – этот процесс называется транспонированием и представляет зеркальное отражение определителя относительно главной диагонали – определитель не изменится.

Современные компьютерные средства позволяют мгновенно вычислять различные действия с матрицей. Например, пакет программ MAXIMA дает возможность вводить матрицу, а затем вычислять ее определитель.

matr.wxm

Дата добавления: 2014-01-20