Метод Бубнова - Галеркина

Лекция 3

В отличие от метода конечных разностей, где использовалась линейная аппроксимация для участков разбиения, в методе Бубнова - Галеркина аппроксимирующая функция записывается для всей области

(24)

где u_i - неизвестные параметры, подлежащие определению; f_i(x_i) - координатная функция, выбираемая таким образом, чтобы она удовлетворяла граничным условиям.

При внесении аппроксимирующей функции в дифференциальное уравнение

(25)

появляется функция невязки , которая по физической сущности представляет собой неуравновешенную нагрузку.

Умножая почленно уравнение (24) на возможное перемещение и интегрируя по области, приходим к соотношению:

(26)

Первое слагаемое представляет собой работу внутренних сил на возможных перемещениях, второе – работу внешних сил, правая часть – работу невязки. Принцип возможных перемещений гласит, что сумма работ внешних и внутренних сил на возможных перемещениях равна нулю. Следовательно, неизвестные параметры находятся из условия равенства нулю работы невязки на возможных перемещениях, то есть

(27)

В нашем случае при геометрических граничных условиях аппроксимирующую функцию можно записать так:

(28)

которая действительно удовлетворяет граничным условиям, так как

В дальнейшем будем удерживать n членов ряда (28). Внесем соотношение (28) в уравнение (5):

(29)

Умножим почленно на и проинтегрируем от 0 до l, положив :

(30)

В силу ортогональности

(31)

Выражение (30) с учетом (31) приобретает вид:

(32)

откуда

(33)

Внося (33) в (28), приходим к выражению для перемещения. Выражение для продольного усилия получается на основании соотношения (4).

(34)

Запишем решение для

Для нормальной силы

(35)

При х=0

(36)

Таблица 6

N
	0.129	0.1242	0.1253	0.1249
	0.4053	0.450	0.466	0.475

Рисунок 19

Ряд хорошо сходится по перемещениям и плохо – по усилиям.

Дата добавления: 2014-01-20