Общие положения. Разработка методов сбора и обработки статистических данных, получаемых в результате наблюдений массовых случайных явлений

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ О НАДЕЖНОСТИ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ ИСПЫТАНИЙ АВТОМОБИЛЕЙ

Разработка методов сбора и обработки статистических данных, получаемых в результате наблюдений массовых случайных явлений, составляет предмет математической статистики. Основные задачи статистической обработки следующие [6]: определение объема выборки и числа наблюдений; расчет параметров распределения; выбор закона распределения; оценка критериев согласия между теоретической и экспериментальной кривыми выбранного закона распределения, реальное решение задач посредством оценок параметров распределения.

Одной из важнейших задач при обработке статистических данных является определение вида закона распределения случайной величины. Предварительно теоретический закон распределения может быть подобран, исходя из следующих рекомендаций:

а) Принципиальный характер кривой распределения назначается по теоретическим соображениям, связанным с существом задачи, или аналогичным задачам.

Например, исследуемая случайная величина является ошибкой измерения в результате суммирования воздействий множества независимых элементарных ошибок. Тогда можно считать, что она подчиняется нормальному закону.

б) В некоторых случаях теоретическую кривую выбирают, учитывая внешний вид статического распределения.

в) Иногда полезно использовать систему кривых Джонсона или Пирсона, каждая из которых зависит от четырех параметров, и выбор нужной кривой можно осуществить с использованием специально разработанных графиков [7].

г) При использовании ЭВМ для расчетов можно определить несколько законов распределения и выбрать наилучший. В качестве критерия принимают наилучшее согласие теоретической и экспериментальной кривых распределения.

Для определения параметров выбранного закона распределения в математической статистике разработан ряд методов. Наиболее часто используют метод моментов, согласно которому параметры выбирают с таким расчетом, чтобы важнейшие числовые характеристики теоретического распределения были равны соответствующим статистическим характеристикам (Х, Д).

Для определения точечных оценок используют также метод наименьших квадратов, при котором сумма квадратов отклонений должна обращаться в минимум.

В ряде случаев находит применение метод наибольшего (максимального) правдоподобия, выражаемый функцией

. (5.1)

Сущность метода максимального правдоподобия заключается в том, что в качестве оценки математического ожидания Х или другого параметра распределения выбирается значение аргумента, которое обращает функцию L в максимум. Это значение является функцией от х₁, х₂,...,х_n и называется оценкой наибольшего (максимального) правдо­подобия, определяют его по известным правилам дифференциального исчисления. Следовательно, для определения оценки максимального правдоподобия необходимо решить уравнение:

(5.2)

Метод наибольшего правдоподобия обладает важными преимуществами. Он всегда приводит к оценкам, имеющим наименьшую возможную дисперсию, и наилучшим образом использует всю информацию о неизвестном параметре. Однако применение этого метода связано с необходимостью решения сложных систем уравнений. Поэтому наиболее приемлемым методом для определения параметров законов распределения является метод моментов.

Дата добавления: 2014-01-20