Выборочные наблюдения и размер выборки

Группа объектов, предметов или явлений, объединенных каким-либо общим признаком, либо свойством качественного или количественного характера, называется совокупностью. Объекты или явления, образующие совокупность, называются единицами совокупности. В математической статистике такая совокупность объектов, которая исследуется с точки зрения изучения некоторого признака, носит название генеральной совокупности. Практически подвергнуть обследованию всю совокупность объектов весьма сложно и не требуется для получения приемлемой точности. Поэтому контролируют только небольшую часть генеральной совокупности.

Часть объектов, которая подвергается контролированию, называется выборочной совокупностью или выборкой.

Основной задачей выборочного метода является оценка надежности какой-то большой группы машин по ее незначительной части, т. е. по выборке. Это приближенные оценки вероятностного характера. Теоретической основой выборочного метода являются закон больших чисел и центральная предельная теорема [6], согласно которым при неограниченном возрастании объема выборки ее характеристики сходятся по вероятности с соответствующими характеристиками генеральной совокупности.

В математической статистике доказывается, что закон больших чисел и центральная предельная теорема справедливы с достаточной для практики точностью уже при объеме выборки более 30.

При определении объема выборки предполагают заранее заданными значение допустимой относительной ошибки или точность (абсолютную погрешность), доверительную вероятность и закон распределения.

Для большинства практических задач, законы распределения которых описываются нормальным законом или близким по форме к нормальному, объем выборки определяют по формуле:

, (5.21)

где Up — квантиль нормального распределения, зависящий от принятой доверительной вероятности, находят табл. 5.8 квантилей нормального распределения для P = (1 +) / 2.

Таблица 5.8

P	Up	P	Up	P	Up	P	Up
0,5	0,000	0,75	0,6745	0.97	1,881	0,999	3,090
0,55	0,1257	0,80	0,8416	0,957	1,960	0,9995	3,290
0,60	0,2533	0,85	1,036	0,99	2,326
0,65	0,3853	0,90	1,282	0,995	2,576
0,70	0,5244	0,95	1,645	0,999	2,48

Между абсолютной погрешностью и относительной ошибкой существует зависимость

. (5.22)

Пример. Требуется определить число обследуемых автомобилей для оценки ресурса поршня ускорительного насоса карбюратора с точностью = 5 тыс. км при доверительной вероятности = 0,95 и среднем квадратичном отклонении = 17 тыс. км [6, 11].

Определяем вероятность P = (1 + 0,95) / 2 = 0,975. По табл. 5.8 находим Up = 1,96. Отсюда объем выборки, т. е. число обследуемых автомобилей

.

Дата добавления: 2014-01-20