Доверительные оценки и методы их определения

В рассмотренных методах оценки числовых характеристик случайных величин (математическое ожидание, дисперсия и др.) неизвестный параметр определяется одним числом. Такая оценка называется точечной, так как числовое значение можно интерпретировать как точку на числовой оси. При оценке надежности машин и оборудования требуется не только найти для заданного параметра числовое значение, но и оценить его точность и достоверность, необходимо определить, к каким ошибкам может привести замена искомого параметра его точечной оценкой и с какой степенью уверенности можно ожидать, что его ошибки не выйдут за известные пределы. В математической статистике для этой цели используют так называемые доверительные интервалы и вероятности.

Пусть для параметра Х (например, математического ожидания) получена по результатам выборочного обследования точечная оценка этого параметра Х. Требуется определить ошибку замены параметра Х его точечной оценкой Х. Назначим некоторую вероятность (= 0,9) и определим такое значение ошибки > 0, для которого:

P (X - < Х < X +) =. (5.23)

Это равенство означает, что с вероятностью неизвестное значение параметра Х попадет в интервал

J= (X -; X +). (5.24)

Интервал J называется доверительным, а — доверительной вероятностью.

Рассмотрим зависимости, используемые при построении доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону.

Для математического ожидания границы доверительного интервала определяют по формуле:

, (5.25)

где t — коэффициент распределения Стьюдента, определяемый по таблицам [7, 8] в зависимости от доверительной вероятности и числа степеней свободы или размера выборки N = 1.

Доверительный интервал для дисперсии:

, (5.26)

где 12, 22 — критерии Пирсона, определяемые для вероятностей соответственно:

; (5.27)

. (5.28)

Пример. Определить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии ресурсных испытаний, если объем выборки N = 9 [11].

Ресурс распределен по нормальному закону с параметрами Х = 362 мото-ч, = 173,86 мото-ч, V = 0,48.

При = 0,90 и N — 1 = 8; коэффициент Стьюдента t = 2,31 [7].

Доверительный интервал для математического ожидания ресурса согласно формуле (5.25) равен:

^.

Таким образом, точное значение ресурса с вероятностью 0,9 находится в пределах от 228,13 до 495,87 мото-ч.

Доверительный интервал для дисперсии находим, используя формулы (5.26), (5.27), (5.28) и таблицы для определения c² [6, 8, 9].

;; 12= 15,51; 22= 2,73

D = ² = 173,86 ² = 30227,30.

Окончательно получим:

Дата добавления: 2014-01-20