Метод произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии

Метод произведений дает удобный способ вычисления условных моментов различных порядков вариационного ряда с равноотстоящими вариантами. Через найденные условные моменты впоследствии не сложно вычислить начальные и центральные моменты. Методом произведений легко находить выборочные среднюю и дисперсию. Для удобства вычислений пользуются таблицей, которая составляется следующим образом:

1. в первый столбец записывают выборочные варианты , расположенные в возрастающем порядке,
2. во второй столбец записывают частоты вариант , их сумму (по столбцу) помещают в последнюю клетку второго столбца,
3. в третий столбец записывают условные варианты , причем в качестве ложного нуля С выбирают варианту с наибольшей частотой (шаг полагают равным разности между соседними вариантами),
4. в четвертый столбец записывают произведение частот на условные варианты , их сумму (по столбцу) помещают в последнюю клетку четвертого столбца,
5. в пятый столбец записывают произведения частоты на квадраты условных вариант , их сумму (по столбцу) помещают в последнюю клетку пятого столбца,
6. в шестой столбец записывают произведение частоты на квадраты условных вариант, увеличенных (каждая) на единицу , их сумму (по столбцу) помещают в последнюю клетку шестого столбца, при этом шестой столбец используется лишь для контроля правильности вычислений:

.

После заполнения таблицы вычисляют условные моменты:

,

и по ним определяют выборочную среднюю и выборочную дисперсию:

,

.

Пример. Найти методом произведений выборочные среднюю и дисперсию следующего статистического распределения:

	10,2	10,4	10,6	10,8	11,0	11,2	11,4	11,6	11,8	12,0

Составим расчетную таблицу:

10,2		-4	-8
10,4		-3	-9
10,6		-2	-16
10,8		-1	-13
11,0
11,2
11,4
11,6
11,8
12,0
	=100		=57	=383	=597

Вычисления проведены корректно, т.к. выполнено соотношение:

.

Найдем условные моменты первого и второго порядков:

.

Определим выборочные среднюю и дисперсию:

.

Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим

На практике, как правило, эмпирические данные не являются равноотстоящими числами. Для удобства расчетов их необходимо свести к равноотстоящим. Для этого интервал, в котором заключены исходные варианты, делится на несколько равных «частичных» интервалов (на практике в каждый частичный интервал должно попасть не менее 8-10 первоначальных вариант). Затем находят середины частичных интервалов, которые и образуют последовательность равноотстоящих вариант. В качестве частоты каждой новой варианты (середины частичного интервала) принимают общее число первоначальных вариант, которые попали в соответствующий частичный интервал.

Пример. Выборочная совокупность объема n =100 задана следующей таблицей:

1,00		1,19		1,37
1,03		1,20		1,38
1,05		1,23		1,39
1,06		1,25		1,40
1,08		1,26		1,44
1,10		1,29		1,45
1,12		1,30		1,46
1,15		1,32		1,49
1,16		1,33		1,50

Необходимо составить таблицу равноотстоящих вариант.

Интервал изменения вариант разбивается на 5 (к примеру) частичных интервалов:

1,00-1,10

1,10-1,20

1,20-1,30

1,30-1,40

1,40-1,50

Примем середины частичных интервалов в качестве новых вариант , которые будут равноотстоящими:

1,05	1,15	1,25	1,35	1,45

Найдем частоты новых вариант :

Т.е. , …

Таким образом, имеем следующее распределение равноотстоящих вариант:

	1,05	1,15	1,25	1,35	1,45

Дата добавления: 2014-01-20