Основные формулы комбинаторики. Задачи, цель которых – определение числа способов осуществление того или иного действия, называются комбинаторными

Задачи, цель которых – определение числа способов осуществление того или иного действия, называются комбинаторными, а наука, изучающая способы решения таких задач называется комбинаторикой.

Выборки без повторений.

	Выборки объёма m из совокупности n различных элементов

Если одна от другой отличается либо составом

элементов, либо порядком их расположения

Если одно от другого отличаются только порядком расположения элементов

Если одно от другого отличаются хотя бы одним элементом (только составом).

Сочетания без повторений объёма m из данных n элементов. , (n ³ m)  

Перестановки без повторений объёма m. Р_m = m! (получена из , где n = m

Выборки объёма m из совокупности повторяющихся элементов n различных классов  

Выборки с повторениями.

Если одна от другой отличается либо составом

элементов, либо порядком их расположения

		Размещения с повторениями объёма m из повторяющихся элементов n различных классов.

Перестановки с повторениями, где элемент i -го класса (i =1,2,…n) повторяется k_i раз , k =S k_i

Если одно от другого отличаются только порядком расположения элементов

Сочетания с повторениями объёма m из повторяющихся элементов n различных классов.

Если одно от другого отличаются хотя бы одним элементом (только составом).

Правило суммы: если объект хÎХ может быть выбран n способами, а объект yÎY может быть выбран m способами, то выбор объекта «либо х, либо у» может быть осуществлён n+m способами.

Правило произведения: если объект хÎХ может быть выбран n способами и после каждого из таких выборов объект yÎY может быть выбран m способами, то выбор объекта «х и у» (упорядоченной пары (х, у)) может быть осуществлён nm способами.

Задание 1. Вычислить, используя формулы комбинаторики для выборок без повторений:

Вычислить	Формула	Расчёт
	, n ³ m	n =7³ m =3
	, n ³ m	n =____ m =____
	, n ³ m	n =____ m =____
	, n ³ m	n =____ m =____
Р 6	Рm = m!	m =6 Р 6=6!=1·2·3·4·5·6=720
Р 4	Рm = m!	m =__ Р 4=
	, n ³ m	n =7³ m =3
	, n ³ m	n =____ m =____
	, n ³ m	n =____ m =____
	, n ³ m	n =____ m =____

Задание 2. Вычислить, используя формулы комбинаторики для выборок с повторениями:

Вычислить	Формула	Расчёт
		n =7; m =3
		n =____ m =____
		n =____ m =____
		n =____ m =____
	, k =S ki	k 1=2; k 2=1; k 3=3; k =2+1+3=6
	, k =S ki	k 1=__; k 2=__; k =_______
		n =7; m =3
		n =____ m =____
		n =____ m =____
		n =____ m =____

Задача 1.

Сколько различных трёхзначных чисел можно составить, при условии, что цифры в числе не повторяются.

Решение:

Данная задача на размещения без повторений объёма m из данных n элементов (так как один вариант числа от другого может отличаться либо составом элементов____________, либо порядком их расположения ________________).

, (n ³ m)

n =_____________________________________ m =___________________________________

Заметим, что в данное число 720 вариантов вошли те «трёхзначные числа», которые таковыми не являются с точки зрения математики – это, например, числа________________________ («числа с нулём впереди»). Соответственно их нужно пересчитать и исключить из данной совокупности.

I способ расчёта: по классам

Разобьём все числа на десять классов (по виду первой цифры):

«1 класс» - числа с единицей впереди:………………………………………………………...;

«2 класс» - числа с двойкой впереди…………………………………………………………..;

«3 класс» - числа с тройкой впереди…………………………………………………………..;

«4 класс» - числа с четвёркой впереди: ……………………………………………………….;

«5 класс» - числа с пятёркой впереди: ………………………………………………………...;

«6 класс» - числа с шестёркой впереди: ………………………………………………………;

«7 класс» - числа с семёркой впереди: ………………………………………………………..;

«8 класс» - числа с восьмёркой впереди:..……………………………………………………;

«9 класс» - числа с девяткой впереди: ………………………………………………………...;

«10 класс» - числа с нулём впереди: ………………………………………………………….;

Соответственно, в каждом классе будет одинаковое число элементов:_________________

____________________________________________________________________________

II способ расчёта: комбинаторный

Ответ:__________.

Задача 2.

Дата добавления: 2014-01-20