Непозиционные системы счисления

Понятие системы счисления

Системы счисления

Часть 3. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ

Системой счисления называют способ записи и наименования чисел с помощью ограниченного числа символов (цифр). Основными требованиями, которым, как правило, должна удовлетворять любая система счисления, являются:

- однозначность представления произвольного числа;

- конечность представления целых чисел;

-эффективность представления чисел, под которой понимается конечность количества шагов по переходу от кода числа (записи его в цифрах) к самому числу и обратно (при обратном переходе для обеспечения эффективности дробные числа в большинстве систем счисления представляются с заранее заданной погрешностью).

Не все системы удовлетворяют перечисленным требованиям. Так, к примеру, для системы счисления в остаточных классах не выполняется первое требование (в ней не имеют представления дробные числа), а для системы с отрицательным основанием при представлении некоторых чисел не удовлетворяются все три требования одновременно. Однако для большинства практически используемых систем эти требования выполняются.

В зависимости от области применения системы счисления к ней могут предъявляться дополнительные требования (удобство восприятия кодов чисел человеком, простота выполнения арифметических операций над одноразрядными числами и др.). Они будут приводиться ниже при рассмотрении отдельных систем, а также при их сопоставлении с точки зрения целесообразности использования в ЭВМ.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. Известны также системы, занимающие по своим свойствам промежуточное положение между ними. Рассмотрим некоторые практически используемые системы счисления.

В непозиционных системах каждая цифра сохраняет свое значение (количественный эквивалент) независимо от ее места в записи числа. Эти системы просты и исторически появились раньше. Запись числа в них, как правило, производится по принципам сложения и вычитания.

В простейшей непозиционной системе счисления используется один символ «|», количественный эквивалент которого равен 1. Произвольное целое положительное число в ней записывается совокупностью символов соответственно его значению с использованием принципа сложения (3=). Такая система могла удовлетворять потребностям человека только на самом раннем этапе его деятельности.

Усовершенствованием этой системы явилась древнеегипетская иероглифическая система, где числа 1, 10, 100, 1000 и т.д. изображаются с помощью соответствующих иероглифов. Для представления других чисел используются наборы иероглифов с применением принципа сложения. Для изображения числа 378, к примеру, необходимо последовательно написать 3, 7 и 8 иероглифов, обозначающих соответственно 100, 10 и 1.

До наших дней дошла римская система счисления, также являющаяся непозиционной. Здесь для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 используются буквы латинского алфавита I, V, X, L, C, D, M в порядке упоминания. Для изображения промежуточных чисел применяют наборы букв с использованием принципов сложения и вычитания. При этом следуют правилу: количественный эквивалент пары букв равен сумме или разности количественных эквивалентов этих букв в зависимости от того, слева или справа стоит большая по значению буква. Так, к примеру, 1974 = MCMLXXIV. В процессе записи числа стремятся, разумеется, к наибольшей ее компактности.

По вполне понятным причинам (сложность представления больших чисел, еще большая сложность выполнения арифметических операций и др.) непозиционные системы счисления не применяются не только в ЭВМ, но и в обычной человеческой практике.

Дата добавления: 2014-01-20