Векторное произведение

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов , , называется правой тройкой, если наблюдателю, находящемуся в конечной точке вектора , поворот от вектора к вектору на кратчайший угол виден совершающимся против часовой стрелки.

Если поворот от вектора к вектору на кратчайший угол виден совершающимся по часовой стрелке, то векторы , , образуют левую тройку.

правая тройка левая тройка

Векторным произведением двух векторов и , обозначаемым , называется вектор, удовлетворяющий следующим условиям:

1) длина (модуль) векторного произведения равна , где . Т.е. модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах;

2) вектор перпендикулярен плоскости векторов и : ,

3) векторы , , образуют правую тройку.

Из определения ясно, что , если один из них нулевой или они коллинеарны ().

Справедливы следующие свойства векторного произведения:

1) ;

2) векторное произведение антикоммутативно: ;

3) , где ‑ число (скаляр);

4) векторное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов: .

Зная координаты векторов и в декартовой прямоугольной системе координат, для вычисления векторного произведения векторови можно воспользоваться следующей формулой:

(определитель разложен по первой строке).

Смешанным произведением векторов , , называется число , которое равно скалярному произведению векторного произведения и вектора : .

Основные свойства смешанного произведения векторов:

1) , т.е. порядок двух операций (скалярное и векторное произведение векторов), дающих смешанное произведение векторов, не является существенным. Это свойство и позволяет обозначать смешанное произведение просто ;

2) , т.е. при нарушении цикличности перестановки векторов знак векторного произведения меняется на противоположный;

3) , где и - числа (скаляры).

Зная координаты векторов , и в декартовой прямоугольной системе координат, для вычисления смешанного произведения векторов, и можно воспользоваться следующей формулой:

=

Условие компланарности векторов: Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы , , компланарны.

В самом.деле, равенство означает, что векторы и перпендикулярны. Но есть вектор, перпендикулярный и и . Стало быть, перпендикулярен всем трем векторам одновременно. Это возможно лишь в случае, когда они лежат в одной плоскости;

Геометрический смысл смешанного произведения:

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , , и взятого со знаком «+», если тройка правая, и со знаком «—», если тройка левая: .

Воспользовавшись геометрическим смыслом смешанного произведения векторов, можно определить тип тройки векторов по знаку смешанного произведения векторов. Если , то , , ‑ правая тройка векторов, если , то , , ‑ левая тройка векторов.

Полярная система координат.

Говорят, что на плоскости введена полярная система координат, если заданы: 1) т.О (полюс); 2) полупрямая ОА (полярная ось); 3) масштаб для измерения длин.

Положение произвольной точки М на плоскости определяется полярными координатами: полярным радиусом (и полярным углом между полупрямыми и . Считают, что при повороте от к против часовой стрелки и при повороте от к по часовой стрелке. Полярный угол определен не однозначно – значение полярного угла, удовлетворяющее условию , называется главным.

Определим связь между декартовыми координатами на плоскости и полярными координатами. Для этого совместим начало координат и полюс, а полярную ось направим по положительной полуоси абсцисс. Тогда декартовы координаты и полярные координаты произвольной точки М связаны следующими соотношениями:

и .

При нахождении полярного угла необходимо учитывать, в какой координатной четверти расположена т. М и подобрать соответствующее значение .

Дата добавления: 2014-01-20