Понятие функции многих переменных

Функции многих переменных

Пусть имеется n переменных величин . Каждый набор обозначает точку n- мерного множества (п -мерный вектор).

Пусть даны множества и .

Опр. Если каждой точке ставится в соответствие единственное число , то говорят, что задана числовая функция n переменных:

.

называют областью определения, - множеством значений данной функции.

В случае n =2 вместо обычно пишут x, y, z. Тогда функция двух переменных имеет вид:

z=f(x,y).

Например, - функция двух переменных;

- функция трех переменных;

- линейная функция n переменных.

Опр. Графиком функции n переменных называется n- мерная гиперповерхность в пространстве , каждая точка которой задается координатами

.

Например, графиком функции двух переменных z=f(x,y) является поверхность в трехмерном пространстве, каждая точка которой задается координатами (x,y,z), где , и .

Поскольку график функции трех и более переменных изобразить не представляется возможным, в основном мы будем (для наглядности) рассматривать функции двух переменных.

Построение графиков функций двух переменных является довольно сложной задачей. Существенную помощь в ее решении может оказать построение так называемых линий уровня.

Опр. Линией уровня функции двух переменных z=f(x,y) называется множество точек плоскости ХОУ, являющихся проекцией сечения графика функции плоскостью, параллельной ХОУ. В каждой точке линии уровня функция имеет одно и то же значение. Линии уровня описываются уравнением f(x,y)=с, где с – некоторое число. Линий уровня бесконечно много, и через каждую точку области определения можно провести одну из них.

Опр. Поверхностью уровня функции n переменных y=f () называется гиперповерхность в пространстве , в каждой точке которой значение функции постоянно и равно некоторому значению с. Уравнение поверхности уровня: f () =с.

Пример. Построить график функции двух переменных

.

.

При с=1: ; .

При с=4: ; .

При с=9: ; .

Линии уровня – концентрические окружности, радиус которых уменьшается с ростом z.

Дата добавления: 2014-01-20