Локальный экстремум функции двух переменных

Пусть функция определена и непрерывна в некоторой окрестности точки .

Опр. Точка называется точкой локального максимума функции , если существует такая окрестность точки , в которой для любой точки выполняется неравенство:

.

Аналогично вводится понятие локального минимума.

Необходимое условие локального экстремума.

Для того, чтобы дифференцируемая функция имела локальный экстремум в точке , необходимо, чтобы все ее частные производные первого порядка в этой точке были равны нулю:

Итак, точками возможного наличия экстремума являются те точки, в которых функция дифференцируема, а ее градиент равен 0: . Как и в случае функции одной переменной, такие точки называются стационарными.

Пример. .

Заметим, что функция может иметь экстремум также в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует.

Достаточным условием наличия экстремума дифференцируемой функции двух переменных в стационарной точке является условие

причем если , то точка - точка максимума,

- - точка минимума.

Условие является достаточным условием отсутствия экстремума в стационарной точке .

При вопрос о наличии экстремума в точке остается открытым. В этом случае необходимы дополнительные исследования.

Пример.

Найти экстремумы функции

.

Решение. Находим первые частные производные:

и .

Приравняем найденные производные к нулю, после элементарных преобразований приходим к системе уравнений

Решая данную систему уравнений, находим четыре стационарные точки:

.

Теперь найдем вторые частные производные:

и составим выражение

.

Убеждаемся, что:

1) - точка минимума;

2) в точке экстремума нет;

3) в точке экстремума нет;

4) - точка максимума.

Итак, данная функция имеет два экстремума: в точке - минимум , в точке - максимум .

Дата добавления: 2014-01-20