Условный экстремум функции двух переменных

Лекция 15

Пусть на некотором множестве заданы функции двух переменных , , и пусть — множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

. (1)

Уравнение (1) называется уравнением связи.

Определение. Точка называется точкой условного максимума (минимума) функции при условии (1), если существует окрестность точки , для всех точек которой, удовлетворяющих уравнению связи, справедливо неравенство

().

Если имеет место строгое неравенство

(),

то точка называется точкой строгого условного максимума (минимума) функции .

Точки условного максимума и минимума называются точками условного экстремума. Значение функции в этих точках — ее условными экстремумами.

Заметим, что уравнение (1) задает на плоскости некоторую кривую, а наибольшее (или наименьшее) значение функции ищется среди значений функции , принимаемых на этой кривой.

Далее мы будем предполагать, что функции , дифференцируемы в некоторой окрестности точки , причем частная производная функции по переменной отлична от нуля.

Если , то в окрестности точки существует единственное дифференцируемое решение уравнения (1) . Подставляя это соотношение в выражение для функции сведем задачу определения условного экстремума к отысканию безусловного экстремума функции одной переменной

.

Поскольку функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция также дифференцируема в точке . Необходимым условием существования экстремума функции одной переменной является, как известно, равенство нулю в этой точке первой производной, то есть

.

Достаточное условие — это смена знака у производной при прохождении точки . Если функция дважды дифференцируема в точке , то можно также использовать второе достаточное условие: точка является точкой минимума, если , и точкой максимума, если .

Если — точка экстремума функции , то точка , где , является точкой условного экстремума функции .

Пример 1. Найти условный экстремум функции двух переменных при условии, что аргументы этой функции удовлетворяют условию связи .

Подставляя в выражение функции , сведем задачу к задаче об отыскании локального экстремума функции одной переменной .

Так как при , то точка с координатами , является возможной точкой экстремума. Поскольку , то это точка условного минимума.

Отметим, что точка условного экстремума не совпадает с точкой безусловного экстремума той же функции (см. пример в предыдущей лекции).

Метод сведения задачи на условный экстремум к определению безусловного экстремума функции одной переменной называется методом исключения переменной или прямым методом определения точек условного экстремума.

Однако нередко невозможно или весьма затруднительно выразить решение уравнения (1) через элементарные функции. Одним из методов, позволяющих найти условный экстремум функции многих переменных, не прибегая к решению уравнения (1), является метод неопределенных множителей Лагранжа.

Дата добавления: 2014-01-20