Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Наибольшее и наименьшее значение функции

Читайте также:
  1. C.3.2.3.2 Назначение
  2. C.5.4.2.1 Назначение
  3. C.7.4.2.1 Назначение
  4. C.7.5.2.2 Назначение
  5. D.1.3.1.3 Назначение
  6. D.2.3.1.3 Назначение
  7. DOS Fn 5eH: Разные сетевые функции
  8. E.1.2.2.1 Назначение
  9. E.2.2.2.1 Назначение
  10. F.13.4.2.1 Назначение
  11. F.2.2.2.1 Назначение
  12. F.5.3.2.1 Назначение

Определение. Пусть функция двух переменных задана на некотором множестве и — некоторая точка этого множества. Точка называется точкой глобального или абсолютного максимума (минимума) функции , если для всех точек , принадлежащих области , справедливо неравенство

().

Если имеет место строгое неравенство

(,

то точка называется точкой строгого глобального или абсолютного максимума (минимума)

Такие точки называются точками глобального или абсолютного экстремума, а значение функции в данных точках — глобальным или абсолютным экстремумом. Значение функции в точке глобального максимума называют также наибольшим значением функции на множестве , а в точке глобального минимума — наименьшим значением функции.

Как известно, если функция непрерывна на ограниченном замкнутом множестве, то есть на этом множестве найдутся точка, в которой функция принимает наибольшее значение, и точка, в которой функция принимает наименьшее значение. Следовательно, непрерывная на ограниченном замкнутом множестве функция имеет на этом множестве по крайней мере одну точку глобального максимума и одну точку глобального минимума.

Заметим, что, если множество не является ограниченным и замкнутым, то функция может и не иметь на этом множестве наибольшего или наименьшего значения.

Рассмотрим ограниченную замкнутую область, задаваемую системой неравенств

, ,

где — непрерывные функции. Эта область представляет собой криволинейный многоугольник, сторонами которого являются участки непрерывных кривых , а вершинами — точки пересечения этих кривых.

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в рассматриваемой области, следует вычислить значения локальных экстремумов внутри области, условных экстремумов на каждой из сторон многоугольника при условии , значения функции в вершинах многоугольника и выбрать из этих значений наибольшее и наименьшее.

Заметим, что, если функция дифференцируема в рассматриваемой области, вместо локальных и условных экстремумов можно найти значения функции в стационарных точках внутри области и на ее границах, не проверяя достаточных условий существования экстремума. Действительно, если стационарная точка не является точкой локального или условного экстремума, то она не может быть и точкой глобального экстремума.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области , , .

Данная область является треугольником с вершинами , и , стороны которого расположены на прямых , , (рис. 1).

1) Найдем стационарные точки внутри области. Вычислим частные производные функции и приравняем их нулю

Полученная система не имеет решения. Следовательно, стационарных точек внутри области нет.



Рис. 1

2) Найдем стационарные точки на стороне . Координаты точек, лежащих на удовлетворяют условиям , . Тогда рассматриваемая функция принимает вид . Стационарная точка определяется из условия . Отсюда . Вычислим значение функции в найденной точке .

3) Рассмотрим точки, лежащие на стороне . Их координаты удовлетворяют условиям , . При этом имеем , , то есть на стороне стационарных точек нет.

4) Найдем стационарные точки на стороне . Здесь , , , . Из уравнения находим стационарную точку . Однако она не принадлежит рассматриваемому отрезку.

5) Найдем значения функции в вершинах треугольника

, , .

Так как единственная стационарная точка совпала с вершиной треугольника , выберем наибольшее и наименьшее из этих значений. Итак, функция принимает наибольшее значение в точке , наименьшее значение в точке .

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
| Наибольшее и наименьшее значение функции

Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 1058; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.80.132.10
Генерация страницы за: 0.009 сек.