Наибольшее и наименьшее значение функции

Определение. Пусть функция двух переменных задана на некотором множестве и — некоторая точка этого множества. Точка называется точкой глобального или абсолютного максимума (минимума) функции , если для всех точек , принадлежащих области , справедливо неравенство

().

Если имеет место строгое неравенство

(,

то точка называется точкой строгого глобального или абсолютного максимума (минимума)

Такие точки называются точками глобального или абсолютного экстремума, а значение функции в данных точках — глобальным или абсолютным экстремумом. Значение функции в точке глобального максимума называют также наибольшим значением функции на множестве , а в точке глобального минимума — наименьшим значением функции.

Как известно, если функция непрерывна на ограниченном замкнутом множестве, то есть на этом множестве найдутся точка, в которой функция принимает наибольшее значение, и точка, в которой функция принимает наименьшее значение. Следовательно, непрерывная на ограниченном замкнутом множестве функция имеет на этом множестве по крайней мере одну точку глобального максимума и одну точку глобального минимума.

Заметим, что, если множество не является ограниченным и замкнутым, то функция может и не иметь на этом множестве наибольшего или наименьшего значения.

Рассмотрим ограниченную замкнутую область, задаваемую системой неравенств

, ,

где — непрерывные функции. Эта область представляет собой криволинейный многоугольник, сторонами которого являются участки непрерывных кривых , а вершинами — точки пересечения этих кривых.

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в рассматриваемой области, следует вычислить значения локальных экстремумов внутри области, условных экстремумов на каждой из сторон многоугольника при условии , значения функции в вершинах многоугольника и выбрать из этих значений наибольшее и наименьшее.

Заметим, что, если функция дифференцируема в рассматриваемой области, вместо локальных и условных экстремумов можно найти значения функции в стационарных точках внутри области и на ее границах, не проверяя достаточных условий существования экстремума. Действительно, если стационарная точка не является точкой локального или условного экстремума, то она не может быть и точкой глобального экстремума.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области , , .

Данная область является треугольником с вершинами , и , стороны которого расположены на прямых , , (рис. 1).

1) Найдем стационарные точки внутри области. Вычислим частные производные функции и приравняем их нулю

Полученная система не имеет решения. Следовательно, стационарных точек внутри области нет.

Рис. 1

2) Найдем стационарные точки на стороне . Координаты точек, лежащих на удовлетворяют условиям , . Тогда рассматриваемая функция принимает вид . Стационарная точка определяется из условия . Отсюда . Вычислим значение функции в найденной точке .

3) Рассмотрим точки, лежащие на стороне . Их координаты удовлетворяют условиям , . При этом имеем , , то есть на стороне стационарных точек нет.

4) Найдем стационарные точки на стороне . Здесь , , , . Из уравнения находим стационарную точку . Однако она не принадлежит рассматриваемому отрезку.

5) Найдем значения функции в вершинах треугольника

, , .

Так как единственная стационарная точка совпала с вершиной треугольника , выберем наибольшее и наименьшее из этих значений. Итак, функция принимает наибольшее значение в точке , наименьшее значение в точке .

Дата добавления: 2014-01-20