Сложение и вычитание

Выполнение арифметических действий над целыми числами компьютером

Диапазоны значений целых чисел со знаком

Целые числа со знаком

Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак “плюс” кодируется нулем, а “минус” — единицей.

Формат числа в байтах	Диапазон
Запись с порядком	Обычная запись
	–2^7... 2^7–1	–128... 127
	–2^15... 2^15–1	–32768... 32767
	–2^31... 2^31–1	–2147483648... 2147483647

Рассмотрим особенности записи целых чисел со знаком на примере однобайтового формата, при котором для знака отводится один разряд, а для цифр абсолютной величины – семь разрядов.

В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код.

Последние две формы позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства компьютера путем замены разнообразных арифметических операций операцией cложения.

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково — двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде.

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное представление.

1. Прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа — двоичный код его абсолютной величины. Например: -53₈ =10101011₂.

2. Обратный код. Получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы — нулями. Например: -53₈ = 01010100₂.

3. Дополнительный код. Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду.

Например: -53₈ =

01010100₂

+ 00000001₂

¾¾¾¾¾¾

= 01010101₂

Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины автоматически происходит обратное преобразование их в отрицательные десятичные числа.

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение уменьшаемого с обратным или дополнительным кодом вычитаемого. Это позволяет упростить конструкцию АЛУ.

При сложении двоичных кодов чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

1. Числа А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю.

Например: A= 53₈ , B = 12₈

53₈ +12₈ =00101011₂ + 00001010₂ = 00 110 101₂ = 65₈

00101011₂

+ 00001010₂

¾¾¾¾¾¾

= 00110101₂

Здесь получен правильный результат.

2. А положительное, число B отрицательное и по абсолютной величине B больше, чем А. Например: 12₈ +(– 53₈ ) = – 41₈ = 00001010₂ + 01010100₂ =01011110₂

00001010₂

+ 01010100₂

¾¾¾¾¾¾

= 01011110₂

Получен правильный результат в обратном коде. При переводе числа в прямой код биты цифровой части результата инвертируются, т.е. 10100001₂= – 41₈:

01011110₂ à 10100001₂

3. А положительное, число B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А.

Например: 53₈ +(-12₈ ) = 41₈ = 00101011₂ + 01110101₂ = 10100000₂

00101011₂

+ 01110101₂

¾¾¾¾¾¾

= 10100000₂

Компьютер исправляет полученный неправильный результат в прямом коде (–40₈ вместо 41₈) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы:

10100000₂ à 00100001₂

4. Числа А и В оба отрицательные.

Например: (–5₈) + (–5₈) = –12₈ = 01111010₂ + 01111010₂ = 11110100₂

01111010₂

+ 01111010₂

¾¾¾¾¾¾

= 11110100₂

Полученный первоначально неправильный результат (получен обратный код числа –13₈ вместо обратного кода числа –12₈) компьютер исправляет ошибку переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы:

11110100₂ à (перенос 1) à 01110101₂ (обратный код числа)

При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 01110101₂ à 10001010₂ (прямой код) = –12₈ = –10₁₀

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него ячейке памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства.

Ниже приведены два возможных случая переполнения.

5. Числа А и В положительные, но сумма А+В больше, либо равна 2^n–1, где n – количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2^n–1 = 2⁷ =128₁₀). Например: 120₈ + 122₈ = 01010000₂ + 01010010₂ =10100010₂= 242₈= -42₈

01010000₂

+ 01010010₂

¾¾¾¾¾¾

= 10100010₂

Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (242₈ = 10100010₂), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки.

6. Числа А и В отрицательные, а сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2^n–1, где n – количество разрядов формата чисел. В этом случае также знак суммы не совпадает со знаками слагаемых, что будет свидетельствовать о переполнении разрядной сетки.

Дата добавления: 2014-01-20