Лекция 5. Рис. 9 Задержка сигнала при интерполяции

NDt t

Рис. 9 Задержка сигнала при интерполяции

2-й метод. Интерполяция сплайнами. Для восстановления сигнала сплайнами используются полиномы невысокой степени, и применяются эти полиномы к небольшим группам выборок. Сигнал восстанавливается «кусочками» по тому же принципу, что и в предыдущем методе. Однако, невысокая степень полинома приближает восстанавливаемый сигнал к переданному, так как задержка, определяемая степенью полинома невелика.

Если в качестве полинома применяется полином нулевой степени. N = 0, S(t) = а₀ и для вычисления требуется одно значение сигнала. Такой вид восстановления называется ступенчатая интерполяция (рис. 10). Задержки сигнала не будет.

S(t)

Dt t

Рис.10 Cтупенчатая интерполяция сплайном

Если качество полинома применяют полином первой степени N = 1, то S(t) = а₀ + а₁t. Для вычисления коэффициентов требуется две выборки и задержка сигнала при восстановлении будет на один такт. Это линейная интерполяция, рис. 11.

S(t)

t

Рис. 11. Линейная интерполяция сплайнами.

Если качество полинома применяют полином второй степени N = 2, то S(t) = а₀ + а₁t + а₂t². Для вычисления коэффициентов используется три выборки. Восстановленный сигнал состоит из суммы парабол распределенных во времени, рис.12, а задержка равна двум тактам. Это квадратичная интерполяция.

S(t)

t

Рис. 12 Квадратичная интерполяция сплайнами

Если качество восстановления не устраивает, то применяют полиномы более высоких степеней. В заключении надо отметить что определение коэффициентов полинома в общем случае требует применение вычислительных средств, что затрудняет их использование.

3-й метод. Восстановление с помощью фильтра низкой частоты (ФНЧ). Известно, что такой фильтр пропускает низкие частоты и задерживает высокие. Граница между ними – частота среза w_ср. Наиболее простой фильтр Баттерворта n-ого порядка имеет следующую частотную характеристику передачи:

; (6)

где . Эта зависимость показана на рис. 13.

K(w)

n = 5

n=1

w_ср w

Рис. 13 Частотная характеристика ФНЧ

w_ср – частота, при которой наблюдается резкий спад коэффициента передачи.

Импульсная характеристика g(t), это реакция фильтра на короткий импульс, поданный на вход. Обычно считают, что на вход фильтра подаётся импульс Дирака d(t). Схема для измерения импульсной характеристики показана на рис. 14.

	ФНЧ wср

d(t) g(t)

или S(nDt) или S’(t)

Рис. 14. Измерение импульсной характеристики ФНЧ

Доказано, что импульсная характеристика по виду совпадает с функцией отсчетов , но сдвинута по времени от начала координат (рис. 15) по объяснимой причине: реакция фильтра не может начаться до прихода воздействия.

g(t)

t_з t

Рис. 15 Импульсная характеристика ФНЧ

Вид импульсной характеристики очень напоминает вид функции отсчёта. Если выполнить требование w_гр = w_с (f_ср = F_с), то эта схожесть будет ещё больше. На основании этого следует вывод о том, что восстановление сигнала по отсчетом можно выполнить с помощью ФНЧ имеющего f_ср = F_с. Такой же вывод следует из анализа спектра выборки, приведенного выше.

Благодаря простоте реализации именно этот метод используется в цифровой аппаратуре связи.

2. Погрешности при применении теоремы Котельникова.

Передача выборки вместо сигнала дает ряд погрешностей принципиального характера. Разберем их.

а.) Любые сигналы, которые передаются по каналу, конечны во времени, следовательно, и выборка будет ограничена числом . Будет конечным и ряд Котельникова:

. (7)

Число выборок конечно, конечно число членов ряда и это приводит к известной для ортогонального ряда средней погрешности , где S(t) – исходный сигнал, S’(t) – сигнал, полученный при интерполяции. Интересно поведение мгновенной погрешности этого характера. Ранее мы доказали, что точное восстановление сигнала будет в момент отсчета (благодаря свойству функции отсчетов). Следовательно, погрешность будет равна нулю в моменты отсчетов и максимальна между ними (рис. 16). Эта максимальная погрешность тем меньше, чем больше отсчётов. Ограниченность выборки приводит к заметной погрешности восстановления.

t t t

Рис. 16. Мгновенная погрешность восстановления

б.) Причина погрешности заключается в ограничении спектра сигнала величиной F_c, тогда как теоретически спектр бесконечен. Чем меньше , тем меньше данная погрешность.

в.) Следующая причина погрешности заключается в неидеальности интерполятора, в частности не идеальности фильтра низкой частоты, ФНЧ. На рис. 17, 18 показаны характеристики реального и идеального ФНЧ.

Кw) идеальный ФНЧ

Реальный ФНЧ

wср w

Рис. 17. Модуль характеристики передачи ФНЧ

j(w)

Реальный ФНЧ

Идеальный ФНЧ

wср w

Рис. 18. Фазовая характеристика ФНЧ

В теории фильтров доказывается, что для неискаженной передачи характеристика модуля коэффициента передачи должна быть постоянна в полосе прозрачности, а фазовая линейно зависеть от частоты. У реальных фильтров эти требования нарушаются, что и приводит к погрешности восстановления. В частности крутизна наклона фазовой характеристики определяет задержку импульсной реакции при восстановлении, рис. 19.

g(t)

Dt

t

Рис. 19. Влияние фазовой характеристики на импульсную реакцию ФНЧ.

В заключении рассмотрим пример по дискретизации и восстановлению сигнала вида прямоугольного?????????? импульса.

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

3. Квантование сигнала.

Квантование это следующая операция преобразования сигнала необходимая для его представления в цифровой форме и заключается в том, что сигнал становится дискретным по уровню. Динамический диапазон сигнала разбивается на определенные уровни с шагом DS, рис. 20.

Шаг квантования, может быть равномерной или неравномерной. Неравномерный шаг сложнее в реализации.

Шаг квантования определяет погрешность представления сигнала квантами. Если как и ранее усреднить квадрат отклонения истинного сигнала от его квантов, получим величину шума квантования:

. (8)

Его величина зависит от шага и при равномерной сетке равна

(9)

Для качества связи не столь важен шум квантования, как отношение мгновенной мощности сигнала к шуму квантования и оно должно быть достаточно большим:

. (10)

S(t)

S₆

S₅

S₄

S₃

S₂

S₁

DS – шаг квантования

S₀

Рис. 20 Квантование сигнала

t

Выдержать его таким при любых уровнях сигнала возможно, если шаг квантования неравномерный. Для сохранения постоянным соотношения эта сетка должна быть такой: в области больших значений сигнала шаг квантования может быть большой, а в области малых значений сигнала шаг должен быть маленьким. Поэтому в аппаратуре связи применяют либо неравномерный шаг квантования, строящейся по определенному закону, либо подвергают сигнал компрессированию, сжатию динамического диапазона. Эту операцию выполняет компандер – нелинейный блок. Существует несколько законов такого преобразования. Рассмотрим μ – компрессор,

, (11)

здесь коэффициент компрессии, обычно μ=100-1000,

sing Uвх знаковая функция, sing Uвх=+1, если Uвх>0 и sing Uвх=-1, если Uвх<0. Построим эту зависимость, рис.21.

При равномерном шаге квантования выходного напряжения, шаг выходного неравномерный и отвечает вышеприведенным условиям.

Рис.21 μ компрессия.

Находит применение компрессия при А-законе:

. (12)

Эти законы применяются в аппаратуре связи. На приемной стороне происходит обратное преобразование – экспандирование, в результате чего сигнал будет восстановлен.

Обычно эти операции совмещают в одном блоке, который называется крмпандер.

4. Импульсно – кодовая модуляция (ИКМ).

Для формирования цифрового сигнала проводится дискретизация по времени и квантование по уровню: получают дискретные значения, а затем их квантуют. Число уровней (квантов) конечно и каждый из них может быть представлен двоичным кодом. Число позиций кода определяет число возможных уровней квантования:

,

где N – число уровней квантования;

m – число позиций кода.

На рис. 22 показана последовательность данных преобразований, которые обычно выполняются одним блоком, получившим название аналого-цифровой преобразователь (АЦП).

Дискретирующая последовательность

	Dt		DS		кодер

S(t)

Рис.21. Формирование цифрового сигнала

Такое преобразование получило название импульсно-кодовая модуляция (ИКМ), и пояснено на рис. 22.

Преимущества такой передачи следующее.

1) Хорошая согласованность со средствами связи и вычислительной техники.

2) При передаче на большие расстояния возможна регенерация цифрового сигнала (осуществляется в регенераторах).

3) Мы передаём только 0 и 1,поэтому передатчик работает в пиковом режиме и вероятность ошибки уменьшается.

4) Возможно, защититься от помех помехоустойчивым кодом.

Имеются и недостатки. Для передачи требуется более широкая полоса частот. Например, для канала тональной частоты, имеющего полосу 300 ÷ 3400 Гц, требуемая частота дискретизации f_д ³ 2F_c, f_д» 8кГц. При кодировании 8-и разрядным кодом основная частота следования кодовых импульсов будет 64кГц, что гораздо больше исходной полосы.

6

5

4

3

2

1

коды отсчетов t

Рис. 22. Формирование ИКМ сигнала.

Существуют другие представления цифрового сигнала, которые преследуют цель улучшить показатели канала связи.

4. Разностное представление сигнала.

В основе положено представление Котельникова о том, что нужно получить выборку и передать ее способом, отличным от предыдущего, классического. Покажем исходную выборку сигнала во времени, рис. 23а.

Рис. 23 Моменты выборок сигнала

Имея N-1 выборок, предскажем N-ую, S`<sub>N</sub>=f(S<sub>1</sub>,S<sub>2</sub>…S<sub>N-1</sub>). Эту задачу выполняет блок предсказателя, рис. 23б. Далее формируется разность предсказанного и действительного значения ΔS<sub>N</sub>=S<sub>N</sub>-S`_N; это разность N-ого порядка. Именно эта разность передается по каналу связи, разумеется, цифровом виде (коде). Структура такой передачи показана на рис. 24.

Рис. 24. Передача разности

Разность несет информацию о сигнале только в том случае, если между выборками существует статистическая связь. Эта связь характеризуется корреляцией между выборками, и чем она выше, тем точнее предсказание.

Количество выборок участвующих в предсказании определяет порядок разности. Разность первого порядка - в предсказании используется одна предыдущая выборка, и сохранить ее можно, задержав на один интервал. Схема рис. 24 упрощается, предсказатель – обычная линия задержки на один такт Δt.

Рассмотренный способ передачи называется дифференциально-импульсная кодовая модуляция, ДИКМ.

Почему эффективна такая передача?

Во-первых, для передачи разности нужна меньшая энергия. Рассмотрим разность первого порядка. ΔS_k= S_k-S_k-1 и найдем ее энергию, усреднив квадрат разности (черта – знак усреднения):

, (13)

где R- нормированный коэффициент корреляции между k-ой и k-1-ой выборкой, . Если вероятностная связь между выборками сильна, R→1 и энергия и мощность передатчика уменьшается. Однако, при этом нельзя игнорировать помехи связи и если они имеются приходится обеспечить необходимое соотношение сигнал/помеха для качественной связи.

Во вторых, при той же частоте дискретизации (1/Δt), что и при ИКМ, динамический диапазон разности ΔSk max/ ΔSk min гораздо меньше динамического диапазона исходного сигнала. Поэтому число уровней квантования меньше, а значит меньше и разрядность кода при ее оцифровке. Качество же связи остается прежним. Кодовая комбинация становится короче и за промежуток Δt можно передать разности еще нескольких сигналов. Увеличивается пропускная способность системы связи.

Имеются и недостатки. Ошибки в коде разности ведут к тяжелым последствиям. Происходит размножение ошибок, так как разность участвует в восстановлении отсчета текущего и последующих. Поэтому вероятность ошибки должно быть меньше, чем при ИКМ. А это зачастую требует повышение мощности сигнала (передатчика).

5. Дельта-модуляция (ДМ).

Дельта-модуляция это дальнейшее развитие ДИКМ. Повысим частоту дискретизации, например, до 32 кГц (напомним, что в классической ИКМ она 8 кГц). Статистическая связь между отсчетами Sk увеличивается, разность ΔSk уменьшается и уменьшается разрядность кода для ее представления. Разность постоянна и может иметь знак +, -.

Если передается только знак разности, получается одноразрядная система передачи. Такой способ формирования сигнала и есть дельта-модуляция (ДМ, δ-модуляция):

. (14)

Реализация этих идей может выполнена несколькими способами. Разность можно сформировать по непрерывному сигналу, можно и по выборки, используя предыдущую.

Один из вариантов такой система связи приведен на схеме на рис. 25.

Рис. 25. Система связи с ДМ

Работает она следующим образом. Сигнал S(t) и его предсказанное значение S`(t) поступает на стробируемый вычитатель, на выходе которого формируется выборки разности ΔSk с частотой fд. Знак разности кодируется одноразрядным кодером.

По знаку разности предсказатель (в этой схеме это интегратор) накапливает результат, формируя S`(t) по ступенькам ΔS с учетом знака.

Восстановление сигнала идет также с помощью интегратора. Фильтр низкой частоты (ФНЧ) на конечном этапе сглаживает сигнал.

Преимущества.

- Простота кодека (кодера и декодера).

- Сохранение полосы частот таким же, как и при ИКМ, несмотря на большую частоту дискретизации fд; в ИКМ 8-разрядный код, а здесь одноразрядный.

Недостатки.

Предсказанное значение сигнала S`(t) ступенчатая функция с постоянным шагом ΔS и она может отставать или опережать от S(t), возникает так называемая перегрузка по крутизне. Это специфические искажения по крутизне, рис. 26. Для уменьшения их до приемлемой величины необходимо выполнить условие

,

которое приводит в соответствие скорость изменение сигнала с шагом. Это не просто выполнить.

Рис. 26 Погрешность дельта-модуляции.

Для устранения погрешностей по крутизне необходимо либо повысить частоту fд, либо увеличить ΔS при отставании предсказания или наоборот уменьшить при опережении. Повышение частоты лишает основного преимущества такой модуляции – приемлемой полосы частот. Остается одно - сделать шаг ΔS переменным, отслеживать его в передатчике и передавать его в приемник в служебной части кода.

На этих принципах создается адаптивная дельта –модуляция, АДМ. Ее суть в следующем. Имеется следящая система, которая отслеживает знак разности. Если он одинаков в течение 3-4 интервалов, это перегрузка по крутизне, и шаг квантования ΔS необходимо изменить (при отставании увеличить в два раза, а при опережении уменьшить в два раза).

Информация об изменении шага передается к приемнику, чтобы декодер сделал то же самое.

Если после этого знак разности не меняется, шаг квантования вновь изменяется по тому же принципу. Таким образом, система отслеживает ошибку и не дает ей разрастись. Принцип АДМ пояснен на рис. 27.

Рис. 27. Принцип формирования АДМ сигнала

з

Дата добавления: 2014-01-20