Используемые при оценке надежности

Основные виды теоретических законов распределения,

В теории надежности наиболее часто применяется экспоненциальный закон. При этом функция распределения имеет вид (рис.3.2,а)

F(t)=1-exp(-lt), (3.11)

где λ - параметр распределения (величина постоянная).

В дифференциальной форме экспоненциальный закон имеет следующий вид:

f(t)=lexp(-lt).(3.12)

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону:

m_t= tf(t)dt=lte^-ltdt=, (3.13)

D_t=(t-m_t)²f(t)dt=(t-)²le^-ltdt=, (3.14)

. (3.15)

Рис.3.2. Графическая изображение частных законов распределения:

а) экспоненциальный закон; б) нормальный закон; в) закон распределения Вейбулла.

По экспоненциальному закону распределяется время внезапных отказов пультовой аппаратуры, механических и гидравлических систем в рабочем режиме, эксплуатации, а также время внезапных и постепенных отказов сложных изделий при хранении изделий на базах и складах и при транспортировании их по железной дороге и другими видами транспорта.

Время износовых (постепенных) отказов элементов гидравлических и механических систем, а также некоторых элементов электрических систем иногда подчиняется нормальному закону.

В частности, нормальное распределение времени отказов следует ожидать в тех случаях, когда обеспечивается достаточная однородность качества элементов, а скорость износа зависит от большого числа факторов, ни один из которых не является преобладающим.

Нормальный закон (рис. 3.2,б) может быть выражен одной из зависимостей:

F(t)=dt, (3.16)

f(t)=, (3.17)

где m_t - математическое ожидание случайной величины t,

s_t - среднее квадратическое отклонение.

Интеграл типа не выражается через элементарные функции и поэтому для его вычисления пользуются таблицами Лапласа (интеграла вероятностей)

Ф(t)=dz. (3.18)

Нормальный закон распределения через интеграл вероятностей выражается

F(t)=[Ф(z)+1]. (3.19)

График нормального закона показан на рис 3.2,б. Экспоненциальный и нормальный законы являются частными случаями более общего закона гамма-распределения. При этом распределении плотность вероятности выражается формулой

f(t)=l^kt^k-1e^-lt, (3.20)

где Г(К) – гамма-функция, определяемая формулами:

Г(К)=, при К<1, Г(К)=(К-1)Г(К-1), при К>2, (3.21)

где значения Г(К) определяются по таблицам.

Если учесть, что для целых К справедливо соотношение

Г(К)=(К-1)!,

то можно записать:

f(t)=le^-lt, (3.22)

где λ и К - параметры гамма-распределения.

При К=1 гамма-распределение превращается в экспоненциальное распределение, а при К→ ∞ - в нормальное распределение.

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиненной гамма-распределению.

m_t=tf(t)dt=t(lt)^k-1e^-ltdt=, (3.23)

D_t=(t-m_t)²f(t)dt=(t-)² e^-ltdt=. (3.24)

Гамма-распределению подчиняется время возникновения отказов сложных электрических систем на начальной стадии их эксплуатации, а также сложных резервированных систем. Время отказов при приработке элементов подчиняется иногда гамма-распределению при К<1.

Наиболее общим законом является также и распределение Вейбулла. Этот закон определяется следующими формулами:

F(t)=1-exp(-lt^b), (3.25)

f(t)= λ bt^b-1exp(-lt^b), (3.26)

где λ - параметр масштаба (размерная величина),

b - параметр формы (безмерная величина).

Числовые характеристики для закона Вейбулла определяются по формулам:

m_t=Г(1+b^-1), (3.27)

D_t=l^-2{Г(1+2b^-2)-[Г(1+b^-1)]²}, (3.28)

Г(·) - гамма-функция определяется по таблицам.

Легко заметить, что при b=1 распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение, а при b=3,25 оно приближается к нормальному. Характер изменения функции f(t) при различных значениях b показан на рис. 3.2,в.

Распределение Вейбулла хорошо описывает распределение времени безотказной работы многих элементов радиоэлектронной аппаратуры (ламп, транзисторов, некоторых пультов) в случае, когда отказ этих элементов рассматривается как выход какого-либо их параметра за установленные пределы.

Кроме этого, иногда применяется распределение Релея

f(t)=, (3.29)

где s_t- параметр закона (постоянная величина).

Логарифмическое нормальное распределение:

f(t)=, (3.30)

где m_у , σ_у –параметры закона, (m_у = lg m_t; σ_у = lg σ_t).

Заключение

Проблема оценки надежности технических систем является комплексной. Её различные аспекты связаны с изучением физических процессов, приводящих к отказам, с экспериментальными исследованиями, с огромным числом эксплуатационных факторов, включающих и подготовку технического персонала. Она базируется на математических методах и моделях, характеризующих распределение вероятностей интервалов безотказной работы и интервалов восстановления систем, и для их усвоения от обучающихся требуется общая математическая подготовка, не выходящая за пределы программы технического вуза.

Дата добавления: 2014-01-20