Числовые характеристики случайных величин. Кроме законов распределения случайные величины характеризуются еще числовыми характеристиками

Кроме законов распределения случайные величины характеризуются еще числовыми характеристиками. Из всех числовых характеристик наиболее часто применяются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, а также коэффициент вариации.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины t называется сумма произведений всех возможных значений этой величины на вероятности этих значений.

m_t=M[t]= t_ip_i, (3.4)

где t_i – i-е значение случайной величины t;

p_i - вероятность i-го значения;

N - число независимых опытов (число возможных значений величины t).

Математическое ожидание часто называют средним значением случайной величины.

Если число независимых наблюдений N, то вероятность каждого наблюдения равна.

Тогда приближенное значение математического ожидания (оценка математического ожидания) будет равно

. (3.5)

При N→ ∞ оценка сходится по вероятности (практически совпадает) с математическим ожиданием случайной величины.

Если случайная величина непрерывна, то

m_t=tf(t)dt. (3.6)

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания. Для дискретных случайных величин будем иметь

D_t=D[t]=(t_i-m_t)²p_i, (3.7)

а для непрерывных величин

D(t)=(t-m_t)²f(t)dt. (3.8)

Приближенное значение дисперсии называется оценкой дисперсии и определяется по формуле:

, (3.9)

где - оценка математического ожидания определяется по формуле (3.5).

Корень квадратный из дисперсии имеет размерность такую же, как и у случайная величина и называется средним квадратическим отклонением.

s_t=,

где s_t - среднее квадратическое отклонение.

Приближенное значение (оценка) среднего квадратического отклонения определяется по формуле =S_t==.

Коэффициент вариации V_t определяется отношением среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию случайной величины, т.е.

V_t=. (3.10)

В математической статистике коэффициент вариации используется для определения вида теоретического закона, которому подчиняются случайные величины. Так, например, коэффициент V_t<0,3 соответствует нормальному закону, V_t>0,5 – закону распределения Вейбулла. Если коэффициент вариации находится в пределах 0,3…0.5, то может быть закон Вейбулла или нормальный.

При V_t=1 действует экспоненциальный закон.

Дата добавления: 2014-01-20