ЛЕКЦИЯ №5 часть 2

Устойчивость сжатых стержней.

Продольный изгиб.

При расчете стержней на простое сжатие (центральное сжатие) мы предполагали, что первоначальная форма равновесия стержня остается неизменной.

Однако, при определенных соотношения геометрических размеров стержня и величины нагрузки Р стержень может выпучиваться-изгибаться. Это явление носит название - потери устойчивости прямолинейной формы равновесия стержня.

В теоретической механике известны три формы равновесия абсолютно твердого тела: устойчивая, неустойчивая и безразличная.

И упругое тело может иметь также три формы равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Но форма равновесия зависит от размеров, величины и направления нагрузки.

Покажем три формы равновесия упругого стержня.

Загружаем стержень центральной силой Р.

Если (критическая величина силы), то эта первоначальная форма устойчива. Как проверить? Дадим малое отклонение, а затем эту возмущающую силу уберем, то после колебаний стержень вернется в устойчивое состояние.

- безразличная форма равновесия. Как проверить? Приложить возмущающую силу, а затем убрать. Стержень может вернуться, а может и не вернуться в первоначальное состояние равновесия.

- неустойчивая форма равновесия.

Наименьшее значение центрально приложенной сжимающей силы Р, при незначительном увеличении которой первоначальная прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой, называется критической силой и обозначается.

Устойчивость – это свойство (способность) упругой системы восстанавливать первоначальную форму равновесия после того, как ей было дано некоторое малое отклонение от этого положения равновесия.

Для обеспечения безопасной работы стержня должно соблюдаться не только условие прочности и жесткости, но также и условие устойчивости.

- условие устойчивости

-допускаемая величина сжимающей силы из расчета на устойчивость.

Р - действительная величина сжимающей силы.

- величина критической силы

-нормативный коэффициент запаса на устойчивость.

Сталь = 1.7÷3.0

Сосна = 3.0÷4.0

Чугун серый = 4.0÷5.0

Чтобы определить является ли безопасным приложение силы Р необходимо знать, а чтобы определить, нужно знать.

Формулу для шарнирного опертого стержня впервые получил Эйлер.

Формула Эйлера для определения величины критической силы сжатого стержня при шарнирном опирании концов

Рассмотрим призматический стержень постоянного поперечного сечения в слегка изогнутом состоянии под действием сжимающей силы несколько большей.

При шариковых опорах стержень будет изгибаться в плоскости минимальной жесткости (EImin).

Принимаем, что деформации малы и критические напряжения не превышают предела пропорциональности материала

≤

Рассмотрим произвольное сечение на расстоянии x от начала координат.

Запишем приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

EImin =M(x) (1)

M(x)=-P× y

Введем обозначение (параметр) = (2)

После подстановки М(х) в (1) с учетом (2) получим

+ y=0 (3) однородное линейное дифференциальное уравнение.

Решение уравнения (3) записывается в виде

y=Asinkx+ Bcoskx

A, B- постоянные интегрирования определяются из граничных условий.

При x=0, y=0Þ В=0

При x=l, y=0ÞAsinkl=0.

Физический смысл постоянной А – это амплитуда прогиба.

По условию задачи А≠0 (стержень находится в искривленном состоянии).

Следовательно, sin(kl)=0 kl=0, π, 2π, … nπ,

n – целое число;

kl=nπ; k= ß подставим в уравнение (2)

Получим P= - это ряд нагрузок, нас интересует наименьшая нагрузка.

Положив n=1 получим формулу для определения величины критической силы сжатого стержня при шарнирном опирании концов – формулу Эйлера.

Pкр=

Как определить величину критической силы при других условиях опирания?

Дата добавления: 2014-01-20