Лекция №6. Тема: Производная функции

Опр. Производной функции называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю, т.е.

- приращение аргумента - приращение функции в т..

Механический смысл производной: Производная от функции в т.численно равна скорости изменения функции в момент .

Геометрический смысл производной: Производная от функции в т.равна угловому коэффициенту (т.е. tg угла наклона) касательной, проведенной к графику функции у=в точке с абсциссой .

- уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .

- уравнение нормали (т.е. прямой, проходящей перпендикулярно касательной), проведенной к графику функции в точке с абсциссой .

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
, где	- «сложная функция» f – внешняя функция, u – промежуточная функция
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

Примеры: 1. , здесь - внешняя функция, - промежуточная, тогда ;

2. , тогда .

Дифференциал функции.

Напомним, что означает, что в окрестности точки .

Рассмотрим .

Правая часть последнего приближенного равенства называется дифференциалом данной функции в точке х и обозначается символом dy или df(x), т.е.

()

так как .

Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной, т.е., если функции u=u(x) и v=v(x) являются дифференцируемыми функциями, то для них выполняются следующие правила:

1. d(u+v)=du+dv

2. d(uv)=udv+vdu

3. dc=0, c-const

4. d(cu)=cdu

5.

6.

Дата добавления: 2014-01-20