Одноканальная система с отказами

Рассмотрим задачу. Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживания имеет интенсивность μ. Система S имеет два состояния: S₀ – канал свободен, S₁ – канал занят. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности. Размеченный граф состояний представлен на след рис.

В предельном стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид:

, (8)

т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное условие p₀+p₁ = 1, найдем из (8) предельные вероятности состояний

;, (9)

которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии S₀ (когда канал свободен) и S₁ (когда канал занят), т.е. определяют соответственно пропускную способность Q системы и вероятность отказа.

; (10)

. (11)

Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность Q на интенсивность потока заявок λ:

. (12)

Пример. Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью λ, равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону t_об = 2 мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

Решение. Имеем λ =90 (1/ч), t_об =2 мин. Интенсивность потока обслуживаний μ =1/ t_об =1/2=0,5(1/мин)=30(1/ч). По (10) относительная пропускная способность СМО Q =30/(90+30)=0,25, т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит =0,75 (см (11)). Абсолютная пропускная способность СМО по (12) А =90·0,25=22,5, т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.

Дата добавления: 2014-01-20