Местные гидравлические потери. Теорема Борда

Полная механическая энергия жидкости на входе в трубопровод равна полной механической энергии на выходе из него плюс гидравлические потери на участке трубопровода между входом и выходом.

Формально «подправить» уравнение Бернулли не сложно: достаточно добавить в правую часть уравнения ещё одно слагаемое – гидравлические потери . Однако, создать методику вычисления этих потерь – задача чрезвычайно ответственная, сложная и трудоёмкая.

2) Вторая трудность применения уравнения Бернулли, полученного для элементарной трубки тока идеальной жидкости, заключается в том, что в инженерной практике очень часто удобнее использовать не распределение скорости по поперечному сечению трубопровода, не действительные скорости в каждой точке, а среднюю скорость потока в трубопроводе. Средняя скорость определяется просто и понятно: средняя скорость равна частному от деления объёмного расхода на площадь поперечного сечения трубопровода:

(1)

При этом полезно помнить, что объёмный расход жидкости через поперечное сечение трубопровода может быть вычислен интегрированием:

(2)

Однако, простая подмена действительной скорости в уравнении Бернулли на среднюю скорость потока не корректна, ибо действительная кинетическая энергия жидкости может существенно отличаться от кинетической энергии жидкости, вычисленной по средней скорости.

Следовательно, при переходе к средней скорости придётся ввести в уравнение Бернулли поправочный коэффициент. Этот коэффициент был назван коэффициентом Кориолиса. Конкретные его значения пришлось определять в ходе трудоёмких экспериментов, и лишь в одном частном случае коэффициент Кориолиса удалось вычислить аналитически.

Лемма о трёх интегралах.

а) Первый интеграл связан с понятием средней скорости. Действительная скорость и средняя скорость отличаются на величину отклонения :

(3)

где есть величина постоянная для данного сечения, а и могут быть различными для разных точек одного сечения.

Преобразуем уравнение (2):

Учитывая уравнение (1) (), получаем:

(4)

б) Второй интеграл связан с количеством движения.

Действительное количество движения массы жидкости, прошедшей за промежуток времени через поперечное сечение , может получено интегрированием по всему поперечному сечению следующего выражения:

(5)

Среднее слагаемое в круглых скобках равно нулю в силу (4), а выражение можно интерпретировать как количество движения, вычисленное по средней скорости. Продолжим упрощение выражения (5):

(6)

Здесь приняты следующие обозначения:

- количество движения, вычисленное по средней скорости (7)

(8)

- коэффициент Буссинеска (9)

в) Третий интеграл связан с понятием кинетической энергии жидкости. Кинетическая энергия массы жидкости , прошедшей через сечение за промежуток времени равна:

(10)

Продолжим упрощение выражения (10):

(11)

Второе слагаемое в круглых скобках равно нулю в силу (4), а выражение можно интерпретировать как кинетическую энергию жидкости, вычисленную по средней скорости. Продолжим упрощение выражения (11),:

(12)

В выражении (12) было отброшено слагаемое как малая величина () и введены обозначения:

- кинетическая энергия, вычисленная по средней скорости (13)

- коэффициент Кориолиса (14)

Очевиден физический смысл коэффициента Кориолиса: он выражает отношение действительной кинетической энергии к кинетической энергии, вычисленной по средней скорости.

Докажите самостоятельно, что между коэффициентами Буссинеска и Кориолиса существует следующая зависимость:

(15)

3) Третья проблема перехода от уравнения Бернулли, полученного для траектории, к уравнению, справедливому для всего поперечного сечения потока, заключается в том, что для разных точек поперечного сечения координата (геометрический напор) и (пьезометрическая высота) принимают различные значения. Если, однако, мы применяем уравнение Бернулли к расчёту трубопровода конечных размеров и выбираем сечения на участках, где движение жидкости близко к равномерному, параллельно струйному течению (), то по всему поперечному сечению трубопровода (16)

Итак, уравнение Бернулли можно применять к движению реальной вязкой жидкости в трубопроводах конечных размеров, в том числе, и в открытых каналах, выбирая сечения на плавно меняющихся участках, внутри которых течение жидкости можно считать, близким к равномерному течению, в следующей редакции (здесь символами и обозначены средние скорости в сечениях 1-1 и 2-2):

(17)

В уравнении (17) значения и следует брать с учётом уравнения (16) в любой точке сечения, но обязательно в одной и той же.

Гидравлические потери неизбежны при любом течении реальной жидкости, но их интенсивность зависит от многих факторов. На ровных участках трубопровода гидравлические потери пропорциональны длине трубопровода, но иногда, на местных гидравлических сопротивлениях локальные (местные) гидравлические потери могут быть очень большими.

Местными сопротивлениями могут быть местные сужения поперечного сечения, например, вентили и задвижки, внезапные сужения и повороты, которые вызывают резкое изменение величины и направления скорости.

Различают местные гидравлические потери и гидравлические потери по длине трубопровода .

Величину местных гидравлических потерь принято определять по формуле Дарси:

(18)

в которой приняты обозначения - коэффициент местных потерь (коэффициент Дарси),

- средняя скорость в наиболее узком сечении местного гидравлического сопротивления. Исключением являются вентили и задвижки, для которых и проходное сечение, и коэффициент местных потерь изменяются при изменении их степени открытия. Для вентилей, кранов, задвижек коэффициент местных потерь относят к средней скорости в трубопроводе, на котором они установлены. Всегда, беря значение коэффициента местных потерь из справочника, уточняйте, для какой именно скорости определён этот коэффициент.

Анри Дарси (1803-1858) французский инженер-гидравлик, обосновавший закон Дарси (1856). В 1833 г. муниципалитет г. Дижон обратился к молодому инженеру-гидрологу с предложением создать проект очистки городских вод и выделил 55 тысяч франков для строительства очистных сооружений - сумма по тем временам весьма и весьма солидная. Все водные источники, каналы, подземные воды этого города были чрезвычайно загрязнены. Энергия, воля, научная страсть Дарси привели к созданию первой в Европе системы городских очистных сооружений, расчет которых он производил на основе открытой им формулы. Впоследствии именно г. Дижон стал для всей Европы эталоном очистных сооружений, красивых фонтанных ансамблей, чистых источников.

В 1856 г. Дарси опубликовал свои научные результаты по фильтрации различных природных сред, используемых для очистки городских вод. Эти достижения обессмертили его имя, и благодарные дижонцы выгравировали на его могиле слова: «Он задумал этот проект, сделал необходимые исследования, произвел все работы, благодаря которым в Дижоне появилась в достатке чистая городская вода. Бесконечная благодарность его таланту и самоотверженности от его родного города».

Коэффициент Дарси приходится практически всегда находить опытным путём. Все экспериментальные данные, полученные за многие годы исследований в разных странах, систематизированы в гидравлических справочниках, среди которых наиболее популярен получивший международное признание «Справочник по гидравлическим сопротивлениям» советского учёного Исаака Евсеевича Идельчика, доктора технических наук, создателя лаборатории аэродинамики НИИОГАЗ.

Теорема Борда-Карно (1766 г.). Гидравлические потери при внезапном расширении потока при больших числах Рейнольдса можно вычислить с помощью теоремы Борда-Карно:

потери при внезапном расширении потока равны скоростному напору, вычисленному по «потерянной скорости».

(19)

Сопоставляя формулы (18) и (19). получаем:

(20)

Следовательно, коэффициент Дарси для внезапного расширения трубопровода равен:

(21

Применительно к рисунку:

Как следствие из уравнений (21) вытекает вывод: гидравлические потери при выходе жидкости из трубопровода в бесконечно большой объём жидкости равны при больших числах Рейнольдса скоростному напору, а коэффициент Дарси равен 1.

(22)

Эксперименты показали, что гидравлические потери при внезапном сужении поперечного сечения потока от до сечения равны:

(23)

и, следовательно, коэффициент Дарси при входе жидкости из сосуда большой ёмкости в трубопровод равен

(24)

Близко расположенные друг к другу местные сопротивления могут оказывать взаимное влияние друг на друга, и определение общих гидравлических потерь на участке трубопровода со взаимным влиянием различных местных сопротивлений представляет собой сложную задачу.

Дата добавления: 2014-01-20