Передаточная характеристика эллиптического фильтра

Нули и полюса эллиптического фильтра

Предварительно очень рекомендую еще раз обратится к рекуррентным соотношениям для расчета эллиптических функций при помощи преобразования Ландена, так как они являются основным вычислительным инструментом при расчете эллиптических фильтров.

Поскольку, то и выражение (2) можно переписать:

(6)

Эллиптическая дробно-рациональная функция имеет как нули так и полюса. Тогда согласно (6) обращается в ноль, когда знаменатель выражения (2) равен бесконечности. Другими словами, нули эллиптического фильтра совпадают с полюсами эллиптической дробно-рациональной функции и находятся из уравнения:

(7)

решение которого можно представить:

(8)

С учетом (6), нули эллиптического фильтра можно записать:

(9)

Полюса эллиптического фильтра можно найти решив уравнение

(10)

Мы не будем решать данное уравнение, а приведем выражения для полюсов эллиптического фильтра, расположенных в левой полуплоскости в окончательном виде для четного порядка фильтра:

(11)

Для нечетного порядка дополнительно будет еще один некратный чисто вещественный полюс:

(12)

Расположение нулей и полюсов эллиптического фильтра на комплексной плоскости для фильтра четного и нечетного порядков при подавлении в полосе заграждения равном 45 дБ показано на рисунках 8 и 9.

Рисунок 8: Расположение нулей и полюсов эллиптического фильтра 5-го порядка

Рисунок 9: Расположение нулей и полюсов эллиптического фильтра 6-го порядка

Красными крестиками обозначены полюса фильтра, а синими кружочками — нули. Видно, что у фильтра нечетного порядка имеются чисто вещественные полюса. Обратите внимание, что нули и полюса отображены в одинаковом масштабе. Все полюса фильтра расположены на эллипсе, как и у фильтра Чебышева первого рода, но в отличии от фильтра Чебышева первого рода, эллиптический фильтр имеет нули, как и инверсный фильтр Чебышева. Это позволяет регулировать как неравномерность АЧХ в полосе пропускания, так и уровень подавления в полосе заграждения.

Зная нули и полюса эллиптического фильтра, выразив из них только полюса, лежащие в левой полуплоскости можно получить передаточную характеристику фильтра в виде:

(13)

Для представления передаточной характеристики эллиптического фильтра при помощи биквадратной формы заметим, что в случае нечетного порядка имеется не кратный вещественный полюс. При остальных полюса будут комплексно-сопряженные. Тогда для любого, где может принимать значения 0 или 1, передаточную функцию эллиптического фильтра можно записать через биквадратную форму:

(14)

где и - реальная и мнимая части соответственно.

Тогда, коэффициент передачи на нулевой частоте фильтра при равен:

(15)

Также необходимо учесть, что как и в случае с фильтром Чебышева первого рода, эллиптический фильтр на нулевой частоте имеет коэффициент передачи равный. Тогда окончательно можно передаточную характеристику эллиптического фильтра для порядка представить в виде:

(16)

Дата добавления: 2014-01-20