Пример расчета фильтра Чебышева первого рода

Передаточная характеристика фильтра Чебышева первого рода

Для получения передаточной характеристики физически реализуемого фильтра необходимо, чтобы все его нули и полюса располагались в левой полуплоскости. Тогда из всех полюсов фильтра Чебышева (21) необходимо выбрать только те, у которых, тогда все полюса фильтра Чебышева можно представить в виде:

(26)

Передаточная характеристика фильтра Чебышева первого рода будет иметь вид:

(27)

Для представления передаточной характеристики фильтра Чебышева первого рода при помощи биквадратной формы заметим, что в случае нечетного порядка при получим некратный вещественный полюс (смотри рисунок 2). При остальных полюса будут комплексно-сопряженные. Тогда для любого, где может принимать значения 0 или 1 передаточную функцию фильтра Чебышева первого рода можно записать через биквадратную форму:

(28)

Тогда, коэффициент передачи на нулевой частоте фильтра при равен:

(29)

Кроме того при нормировке необходимо учесть, что при нечетных порядках фильтра, многочлен Чебышева и соответственно согласно выражению (2), а при четных порядках фильтра, многочлен Чебышева и соответственно, таким образом, при четном порядке фильтра, его коэффициент передачи на нулевой частоте должен быть меньше единицы и равен. С учетом этого передаточная функция нормированного фильтра Чебышева 1 рода для любого имеет вид:

(30)

На рисунках 4 - 9 показаны АЧХ, ФЧХ и групповая задержка фильтров Чебышева первого рода 4-го и 5-го порядков с неравномерностью АЧХ в полосе пропускания 2 дБ.

Рисунок 4: АЧХ фильтра Чебышева первого рода 4-го порядка

Рисунок 5: ФЧХ фильтра Чебышева первого рода 4-го порядка

Рисунок 6: Групповая задержка фильтра Чебышева первого рода 4-го порядка

Рисунок 7: АЧХ фильтра Чебышева первого рода 5-го порядка

Рисунок 8: ФЧХ фильтра Чебышева первого рода 5-го порядка

Рисунок 9: Групповая задержка фильтра Чебышева первого рода 5-го порядка

Из графиков хорошо видно, что АЧХ фильтра Чебышева имеет равноволновые колебания в полосе пропускания и монотонно убывает в полосе заграждения.

Рассчитаем нормированный ФНЧ Чебышева первого рода исходя из следующего коридора АЧХ:

(31)

Шаг 1. Из выражения (1) рассчитаем параметры коридора:

(32)

Шаг 2. Рассчитаем порядок фильтра удовлетворяющий заданному коридору согласно выражению (4):

(33)

Округляем в большую сторону, таким образом порядок фильтра.

Шаг 3. Рассчитываем передаточную характеристику на основе биквадратной формы согласно выражению (30). Для этого произведем предварительные расчеты.

Порядок фильтр, откуда. Параметр равен:

(34)

Параметры где принимает значения 1 или 2 равны:

(35)

Рассчитаем параметры и, а также рассчитаем:

(36)

Обратим внимание, что и рассчитывать параметр не требуется. Теперь можно рассчитать передаточную характеристику фильтра:

(37)

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получим передаточную характеристику в окончательном виде:

(38)

На этом расчет фильтра Чебышева первого рода можно считать оконченным.

Подставив в выражение для передаточной характеристики получим комплексный коэффициент передачи из которого можно рассчитать АЧХ, ФЧХ и групповую задержку фильтра. На рисунках 10 - 12 показаны графики АЧХ, ФЧХ и групповой задержки рассчитанного фильтра.

Рисунок 10: АЧХ рассчитанного фильтра

Рисунок 11: ФЧХ рассчитанного фильтра

Рисунок 12: Групповая задержка рассчитанного фильтра

На графике АЧХ серым цветом отмечен заданный коридор в который помещается АЧХ рассчитанного фильтра. Как видно из рисунка 10, АЧХ полностью укладывается в заданный коридор АЧХ.

Выводы

В данной статье мы рассмотрели расчет аналогового нормированного ФНЧ Чебышева первого рода. Были получены выражения для нулей и полюсов фильтра Чебышева первого рода, показано геометрическое расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости. Приведено выражение для передаточной характеристики фильтра Чебышева первого рода на основе биквадратной формы для четного и нечетного порядков фильтра. Показан вид АЧХ фильтра Чебышева первого рода и рассмотрен пример расчета фильтра по заданному коридору АЧХ.

Расчет аналогового нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

Содержание

Введение. Исходные данные и основные соотношения при аппроксимации АЧХ фильтра

Порядок расчета фильтра Чебышева второго рода

Нули и полюса фильтра Чебышева второго рода

Передаточная характеристика фильтра Чебышева второго рода

Пример расчета фильтра Чебышева второго рода

Выводы

Дата добавления: 2014-01-20