Импульсные характеристики КИХ фильтров обеспечивающие линейную ФЧХ

Условие линейности ФЧХ фильтра

Зададим линейную ФЧХ цифрового фильтра вида:

,

(4)

где - тангенс угла наклона ФЧХ, а. Согласно определению, ФЧХ можно получить из комплексного коэффициента передачи цифрового фильтра:

(5)

Групповая задержка фильтра при этом будет равна. При отрицательном мы получим положительную групповую задержку, что важно, так как отрицательная задержка соответствует физически нереализуемым фильтрам, когда отклик на воздействие возникает раньше самого воздействия.

Из выражения (5) можно выразить:

(6)

Откуда в свою очередь следует, что:

(7)

Вспомним тригонометрические тождества, тогда (7) можно представить:

(8)

После переноса в одну сторону и упрощения выражения (8) получим:

(9)

Таким образом выражение (9) задает уравнение, которому должна удовлетворять импульсная характеристика цифрового фильтра, чтобы фильтр имел линейную ФЧХ. Уравнение (9) должно выполняться при фиксированных и и для всех.

Произведем анализ выражения (9) для случая физически реализуемого КИХ фильтра порядка (импульсная характеристика содержит отличных от нуля коэффициентов, а порядок фильтра определяется количеством линий задержек фильтра). Условие физической реализуемости КИХ фильтра выполняется если при всех и. Тогда индекс в сумме (9) будет принимать значения от 0 до:

(10)

Прежде чем вести дальнейший анализ введем понятия оси симметрии импульсной характеристики КИХ фильтра. Осью симметрии импульсной характеристики назовем значение (не обязательно целое), которое делит интервал от 0 до пополам. Чтобы понять это рассмотрим рисунок 6.

Рисунок 6: Ось симметрии имульсной характеристики цифрового КИХ фильтра нечетного (а) и четного (б) порядков

На рисунке 6 красным условно показана импульсная характеристика цифрового физически реализуемого КИХ фильтра порядка и отмечена ось симметрии. Обратим внимание, что в случае нечетного порядка ось симметрии - дробное число, а в случае четного порядка, ось симметрии совпадает с «центральным отсчетом». Напомним, что нечетный порядок фильтра соответствует четному количеству отсчетов импульсной характеристики.

Рассмотрим два частных случая, при которых КИХ фильтр имеет строго линейную ФЧХ.

Фильтр первого типа получается когда параметры равны, или. Такие параметры приводят к уравнению вида:

(11)

Уравнение (11) выполняется если при, если четно, или при, если нечетно. Наглядно этот случай отображен на рисунке 7.

Рисунок 7: Фильтр с линейной ФЧХ и симметричной импульсной характеристикой при нечетном и четном порядках фильтра.

Поясним рисунок 7. Параметр выбран таким образом чтобы синус всегда имел ноль на оси симметрии, т.е. при. Таким образом получили синус, которые антисимметричен относительно оси симметрии фильтра при любой частоте. Тогда если справа и слева от оси симметрии импульсная характеристика будет иметь одинаковые значения, как это показано на рисунке, то (11) будет иметь сумму слагаемых с противоположными знаками, которые взаимно скомпенсируют друг друга и получим фильтр с линейной ФЧХ. Важно отметить, что при четном порядке (нижний график рисунка 7) центральный отсчет импульсной характеристики попадает на ноль синуса и снова получаем фильтр с линейной ФЧХ. Таким образом фильтр с симметричной относительно оси симметрии импульсной характеристикой всегда приводит к линейной ФЧХ.

Параметры для фильтр второго типа следующие:, или. Тогда получаем уравнение вида:

(12)

Уравнение (12) выполняется если при, если четно, или при, если нечетно. Наглядно этот случай отображен на рисунке 8.

Рисунок 8: Фильтр с линейной ФЧХ и антисимметричной импульсной характеристикой

Поясним рисунок 8. Параметр выбран таким образом чтобы всегда имел единицу на оси симметрии, т.е. при. Таким образом получили косинус, который симметричен относительно оси симметрии фильтра при любой частоте. Тогда если справа и слева от оси симметрии импульсная характеристика будет иметь противоположные значения, как это показано на рисунке, то (12) будет иметь сумму слагаемых с противоположными знаками, которые взаимно скомпенсируют друг друга и получим фильтр с линейной ФЧХ. Важно отметить что при четном порядке (нижний график рисунка 8) центральный отсчет импульсной характеристики попадает на единицу и он должен быть нулевым для фильтра с линейной ФЧХ. Таким образом фильтр с антисимметричной относительно оси симметрии импульсной характеристикой всегда приводит к линейной ФЧХ.

Теперь необходимо сделать замечания.

Замечание 1. КИХ фильтры с симметричной или антисимметричной импульсной характеристикой лишь частный случай КИХ фильтров с линейной ФЧХ. Возможно обеспечить линейную ФЧХ КИХ фильтра при нарушении симметрии импульсной характеристики, но для большинства задач это не является необходимым.

Замечание 2. Поскольку БИХ фильтры не обладают свойствами симметрии импульсной характеристики и не могут иметь линейную ФЧХ. В книге [ОШ2 стр. 307] упоминается, что существует доказательство невозможности построения физически реализуемого БИХ фильтра с линейной ФЧХ.

Выводы

В данной статье мы проанализировали физический смысл ФЧХ и групповой задержки. Было установлено, что групповая задержка показывает изменение задержки сигнала на выходе фильтра при изменении частоты сигнала на входе. При этом нелинейная ФЧХ фильтра может исказить сигнал с изменяющейся во времени мгновенной частотой и это надо учитывать при когерентной обработке. Также были сформулированы требования к импульсной характеристике цифрового фильтра и получены условия при которых КИХ фильтр обладает строго линейной ФЧХ. Показано, что КИХ фильтры с импульсной характеристикой симметричной (антисимметричной) относительно оси симметрии обладают линейной ФЧХ. Полученные условия будут использованы при проектировании цифровых КИХ фильтров.

Расчет КИХ фильтра с линейной фазочастотной характеристикой методом частотной выборки

Содержание

Введение

Расчет КИХ фильтра с произвольной АЧХ и линейной ФЧХ методом частотной выборки

Численный расчет КИХ фильтра на основе обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ)

Эффект Гиббса при расчете фильтров методом частотной выборки

Выводы

Дата добавления: 2014-01-20