Эффект Гиббса при расчете фильтров методом частотной выборки

Основное достоинство метода частотной выборки заключается в том, что он позволяет довольно просто рассчитать КИХ фильтр с линейной ФЧХ и произвольной АЧХ, заданной на сетке частот. Для этого требуется построить комплексный коэффициент передачи фильтра на заданной сетке частот, и взять от него обратное дискретное преобразование Фурье. Однако при всей простоте данного метода, он хранит в себе подводные камни. Рассмотрим на примере.

Пусть и нам требуется рассчитать ФНЧ с частотой среза. Аналитически заданная АЧХ ФНЧ, и ее дискретные отсчеты показаны на рисунке 6.

Рисунок 6: Дискретизация периодической АЧХ ФНЧ при N = 16

На рисунке 7 показаны отсчеты линейной ФЧХ, взятые в соответствии с выражением (13) при четном.

Рисунок 7: Дискретизация линейной ФЧХ ФНЧ при N = 16

Таким образом, мы можем сформировать отсчеты комплексного коэффициента передачи как:

(15)

Значения реальной и мнимой частей комплексного коэффициента передачи (15) приведены в таблице:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	+1.0000000 -0.9807853 +0.9238795 -0.8314696 +0.0000000 -0.0000000 +0.0000000 -0.0000000 -0.0000000 -0.0000000 +0.0000000 -0.0000000 +0.0000000 -0.8314696 +0.9238795 -0.9807853	-0.0000000 -0.1950903 +0.3826834 -0.5555702 +0.0000000 -0.0000000 +0.0000000 -0.0000000 -0.0000000 +0.0000000 -0.0000000 +0.0000000 -0.0000000 +0.5555702 -0.3826834 +0.1950903

Для расчета коэффициентов фильтра необходимо взять ОДПФ от комплексного коэффициента передачи (15):

(16)

В нашем случае кратно степени двойки, и можно воспользоваться алгоритмом быстрого преобразования Фурье. Результат расчета импульсной характеристики КИХ фильтра с линейной ФЧХ приведен в таблице:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	-0.0485469 +0.0307880 +0.0678165 -0.0079250 -0.0980449 -0.0384873 +0.1898828 +0.4045168 +0.4045168 +0.1898828 -0.0384873 -0.0980449 -0.0079250 +0.0678165 +0.0307880 -0.0485469	-0.0000000 -0.0000000 -0.0000000 -0.0000000 +0.0000000 +0.0000000 -0.0000000 -0.0000000 -0.0000000 -0.0000000 +0.0000000 +0.0000000 -0.0000000 +0.0000000 +0.0000000 +0.0000000

Нельзя забывать, что в общем случае результат при обратном дискретном преобразовании Фурье является комплексным, поэтому в таблице приведена как реальная, так и мнимая части импульсной характеристики. Однако, поскольку мы воспользовались свойствами симметрии дискретного преобразования Фурье при дискретизации комплексного коэффициента передачи фильтра, в частности его линейной ФЧХ, то мнимая часть в нашем случае равна нулю (на практике она отличается от нуля ввиду ошибок округления при расчете, но имеет очень маленькие значения и меньше) и импульсная характеристика чисто вещественная.

Замечание. Если при расчете вы получили мнимую часть отличную от нуля, то это означает, что при дискретизации комплексного коэффициента передачи допущена ошибка.

На рисунке 7 показан вид импульсной характеристики рассчитанного фильтра. Как можно заметить, получен фильтр 2-го типа с симметричной импульсной характеристикой и линейной ФЧХ.

Рисунок 8: Импульсная характеристика рассчитанного фильтра

Рисунок 9: АЧХ рассчитанного фильтра точно проходит через узлы дискретизации

На рисунке 8 показана АЧХ рассчитанного фильтра (красный график), которая, как видно, точно проходит через узлы дискретизации, однако между точками дискретизации сильно отличается от идеальной характеристики. При этом наблюдается сильная неравномерность АЧХ в полосе пропускания фильтра, и высокий уровень боковых лепестков в полосе заграждения.

Данный эффект носит название эффекта Гиббса и возникает ввиду ограничения количества отсчетов импульсной характеристики.

Физический смысл эффекта Гиббса заключается в следующем: при дискретизации АЧХ мы задаем точки через которые должна пройти АЧХ рассчитанного фильтра, однако мы не накладываем никаких ограничений на поведение АЧХ в других точках. При расчете мы получаем набор коэффициентов КИХ фильтра как разложение в ряд Фурье комплексного коэффициента передачи. Эти коэффициенты разложение мы рассчитываем через обратное дискретное преобразование Фурье. Поскольку мы ограничиваем количество коэффициентов разложения (количество коэффициентов КИХ фильтра), то получаем усеченный ряд, который лишь аппроксимирует идеальную АЧХ. Аппроксимация будет тем лучше, чем больше коэффициентов импульсной характеристики, т. е. чем чаще мы будем дискретизировать идеальную АЧХ. Эффект Гиббса – негативный эффект, который не позволяет получить КИХ фильтр высокой избирательности. Поэтому было предложено использовать для расчета КИХ фильтров аппарат весовых окон, которые были рассмотрены при спектральном анализе ограниченных во времени сигналов. Использование весовых окно позволяет улучшить частотные характеристики КИХ фильтров, о чем пойдет речь в следующей статье.

Выводы

В данной статье мы рассмотрели алгоритм расчета коэффициентов КИХ фильтра произвольной АЧХ и линейной ФЧХ на основе частотной выборки. Мы показали что численный расчет импульсной характеристики фильтра производится на основе обратного дискретного преобразования Фурье после дискретизации комплексного коэффициента передачи, при этом возможно использование эффективных алгоритмов быстрого преобразования Фурье. Приведен пример расчета КИХ фильтра и показано, что при ограничении порядка фильтра возникает эффект Гиббса – негативный эффект, который искажает АЧХ фильтра, снижая избирательный свойства.

Расчет КИХ фильтра с линейной фазочастотной характеристикой методом частотной выборки с применением оконного сглаживания

Содержание

Введение

Уменьшение эффекта Гиббса при использовании оконного сглаживания

Практические рекомендации по выбору оконной функции при расчете КИХ фильтров

Выводы

Дата добавления: 2014-01-20