Резонанс

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешней, периодически изменяющейся силы. В отличие от свободных (собственных колебаний) при вынужденных колебаниях необходимо подкачка энергии.

Частота установившихся вынужденных колебаний должна быть равна частоте изменения внешней силы

Внешняя сила пополняет энергию системы и расходуется на работу против силы сопротивления. С течением времени устанавливаются колебания с постоянной амплитудой. Кроме внешней силы в системе действует сила упругости и сила сопротивления.

(*)

– дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.  

Решением уравнения (*) ищем в виде

Знак «-» так как трение тормозит колебания, которые отстают по фазе от колебаний вынуждающей силы.

x

t

В данном уравнении неизвестна A, j – фазовый сдвиг, найдем x и x.

Выпишем все в правой части в уравнение (*) и ее правую часть.

данные выражения можно рассматривать как принцип связанных векторов, которые вращаются вокруг точки O с угловой частотой и имеющих длины,, и сдвинутых по фазе по отношению к вектору на,,.

Остановим вращение этих векторов в момент, когда.

Тогда

Случай 2:W>w₀

2dAW    

AW²

O

Возможны два случая:

Случай 1:W<w₀

2dAW    

AW²

O

В обоих случаях сложим векторы x и.

O    

Случай 1:

2dAW

x

2dAW    

O  

Случай 2:

x

По уравнению (*) сумма

O    

2dAW

j  

Случай 1:

2dAW    

j  

a

O  

Случай 2:

Из рисунка видно, что вектор опережает вектор на угол. Найдем величину фазового сдвига.

1:

2:

Итак, – угол, определяющий сдвиг по фазе между установившимися вынужденными колебаниями и внешней силой.

Проанализируем данное выражение:

1) Если

2) Если

3) Если

j p

Изобразим на графике:

W

d=0

w₀

d=0

d₁

d₂

d₂

d₁

Найдем амплитуду вынужденных колебаний А.

Для обоих случаев

Þ

Амплитуда зависит от f₀(амплитуда внешней вынуждающей силы) от m,d, n, соотношенияw, n, W. Исследуем зависимость А(W).

1) W=0; –амплитуда постоянно в состоянии статической нагрузки.

F_{вынужд.}= F₀ cosWt =F₀

Þ – закон Гука.

2) W®¥, А®0, т.е. система не успевает за изменениями.

3) В системе совершающей вынужденные колебания происходит резонанс.

Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний по мере их приближения W к w₀ или w₀ к W называется резонансом.

Найдем резонансную частоту:

Þ

При¯dÞA_рез­ (острее резонансная кривая).

Если d=0,А_рез=¥

A_вынужд

A_ст= =

d=0

d₁

d₂>d₁

w₀

W

d ³w₀

Если 2d²³, то W_рез=0 или мнимое Þ резонанса нет.

При малом затухании, d£w₀,

(добротность)

­QÞ ­Þ острее резонанс.

Полезное использование резонанса:

Радиотехника. Наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с собственной частотой прибора.

Вредное использование резонанса:

Разнос турбин в воздухе, «рота солдат».

Почему происходит резонанс?

F_вынужд=F₀ cos Wt

x =A cos (Wt–j)

V=x¢ = –AW sin (Wt–j); j=

Т_к при резонансеw₀=W,V=–Aw sin (wt–j);

V=–Aw₀ sin (w₀t–); =Aw₀ cos( w₀t)=–AWcosWt.

Скорость совпадает по фазе с F_{вынужд.}, идет раскачка колебаний в такт Þ резонанс.

Дата добавления: 2014-01-11