Решение. Разрывы могут быть лишь в точках или

Разрывы могут быть лишь в точках или .

Найдем пределы слева и справа от этих точек, а также значения исходной функции в этих точках.

Слева от точки наша функция есть и в силу непрерывности линейной функции .

В самой точке наша функция есть , поэтому .

На промежутке наша функция есть и в силу непрерывности квадратичной функции

В точке наша функция есть , поэтому .

Справа от наша функция есть и в силу непрерывности линейной функции

В итоге имеем:

следовательно, в точке исходная кусочная функция непрерывна,

, то есть , следовательно, в точке неустранимый разрыв первого рода (скачок).

Определение разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

В точке функция имеет разрыв второго рода, если либо предел слева , либо предел справа , не существует или бесконечен.

Пример. Исследовать функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, сделать чертеж.

Решение. Областью определения функции является интервал .

Найдем пределы функции слева и справа от точки .

Рассмотрим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к слева. Например, и соответствующую ей последовательность значений функции

Легко показать, что эта последовательность бесконечно большая отрицательная, поэтому, .

Рассмотрим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к справа. Например, и соответствующую ей последовательность значений функции

Легко показать, что эта последовательность бесконечно большая положительная, поэтому, .

Следовательно, в точке функция имеет разрыв второго рода.

Дата добавления: 2014-01-20