Представление решения линейной управляемой системы с помощью матричной экспоненты. Матрица управляемости Калмана

Вопросы для самоконтроля

Пример решения линейной системы дифференциальных уравнений

Задача

Дана система уравнений:

Требуется:

1. Найти весовую матрицу системы.

2. Записать частное решение однородной системы уравнений с начальными условиями.

3. Найти по теореме Коши частное решение неоднородной системы с нулевыми начальными условиями.

4. Записать общее решение неоднородной системы уравнений.

Оглавление

1. Запишем исходную систему уравнений в матричном виде.

Как известно, весовая матрица системы совпадает с матрицей, которая, в свою очередь, в случае системы второго порядка может быть найдена в виде разложения по степеням матрицы А до первого порядка включительно

Непосредственное дифференцирование этого соотношения дает

С другой стороны весовая матрица удовлетворяет системе уравнений

Значит, справедливо

Характеристическое уравнение для матрицы А

Корни характеристического уравнения равны

.

Согласно теореме Гамильтона-Кэли, всякая матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению, значит

.

Тогда, для производной имеем два представления

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях матрицы А, получим систему уравнений для

Продифференцируем второе уравнение системы

,

Оглавление

и подставим в него из первого. В результате получим уравнение для

Решение этого уравнения имеет вид

Принимая во внимание начальные условия для

получим

.

Соответственно,

Тогда весовая матрица равна

Окончательно получим

2. Частное решение однородной системы уравнений при начальных условиях для переменных имеет вид

Следовательно,

С учетом заданных в задаче начальных условий

И, окончательно

Оглавление

3. По теореме Коши частное решение неоднородной задачи с нулевыми начальными условиями может быть найдено по теореме Коши

Тогда

В результате получим

4. Общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения однородной системы и частного неоднородной с нулевыми начальными условиями.

1. Запишите линейную однородную и линейную неоднородную системы дифференциальных уравнений.

2. Что такое характеристическое уравнение линейной системы?

3. Дайте определение весовой матрицы линейной системы дифференциальных уравнений. Запишите дифференциальное уравнение для весовой матрицы. Каким начальным условиям удовлетворяет весовая матрица?

4. Сформулируйте теорему Коши.

5. Какой вид имеет общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений?

Оглавление

6. Какой вид имеет общее решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений?

7. Какой вид имеет частное решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений с нулевыми начальными условиями?

8. Сформулируйте теорему Гамильтона-Кэли.

9. Дайте определение экспоненты от матрицы.

Оглавление

ЛЕКЦИЯ 3.
УПРАВЛЯЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ.
КРИТЕРИЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ КАЛМАНА

Определение управляемых систем, матрица управляемости, ранг матрицы, критерий управляемости Калмана, системы со скалярным управлением.

Рассмотрим линейную систему с управлением следующего вида

где - n-мерный вектор-столбец пространства состояний,

k-мерный вектор управления,

постоянная квадратная матрица системы,

- матрица дозатор.

Оглавление

Определение

Система называется управляемой на некотором интервале времени, если найдется такой вектор управления, который переводит систему из некоторого начального положения в заданное конечное положение.

Условие управляемости дает теорема Калмана.

ТЕОРЕМА

Линейная система, описываемая системой линейных дифференциальных уравнений

является вполне управляемой, когда ранг матрицы управляемости W равен n.

Система уравнений представляет собой линейную неоднородную систему уравнений. Её решение, согласно теореме Коши, может быть записано в виде интеграла свертки

,

где весовая матрица системы.

Так как весовая матрица тождественно равна матричной экспоненте (см. п. 2.2)

То решение можно представить в виде

Умножим правую и левую часть на. Тогда для конечного момента управления получим

Оглавление

В соотношении слева стоит постоянный вектор

,

определяемый начальными и конечными условиями для переменной состояния, а слева некоторая функция управления.

Согласно определению управляемой системы, данному в начале параграфа, если из соотношения удастся определить управляющий вектор, то система будет управляемой.

Как известно, экспонента от матрицы может быть представлена в виде разложения по степеням матрицы А до порядка n -1 включительно

Для имеем соответственно

Тогда из с учётом и получим

Проведем следующие преобразования полученного интеграла: изменим порядок проведения процедуры интегрирования и суммирования и поменяем местами скалярную функцию и матрицы

В интегралах матрица А системы и матрица дозатор В постоянные матрицы и могут быть вынесены из под знака интеграла, поэтому

Под знаком интегралов, входящих в выражение стоят произведения скалярных функций и вектора столбца, то есть сами интегралы

Оглавление

есть постоянные столбцы той же размерности, что и вектор управления. С учетом введенного обозначения представим вектор z

Введем коагулированную матрицу, составленную из матриц, записанных в строку

матрица W состоит из n строк (столько же сколько и в матрицах) и столбцов. Матрица W называется матрицей управляемости Калмана.

Введем также коагулированный столбец, состоящий из столбцов, записанных в столбец

.

Векторбудем называть обобщенным вектором управления

С учётом введённых обозначений правая часть соотношения может быть представлена в виде

Тогда формула примет вид

Оглавление

Дата добавления: 2014-01-20