Доказательство критерия управляемости Калмана

Соотношения представляют собой систему неоднородных алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами. Вектор неизвестных компонент обобщенного управления в этой системе состоит из интегралов

,

где и j -ые элементы вектора, определенного, и вектора управления. Вектор z в правой части системы постоянен и определён формулой.

Таким образом, для определения nk неизвестных имеем n неоднородных уравнений. Условие существования решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений даёт следующая теорема.

ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ:

Система неоднородных уравнений имеет решение тогда и только тогда, ранг расширенной матрицы системы равен рангу самой системы.

Расширенная матрица системы состоит из матрицы коэффициентов линейной системы (в нашем случае W) и столбца свободных членов (у нас z).

Таким образом, условие существования решения есть

.

Напомним, что

Определение

Ранг матрицы равен наибольшему порядку ненулевого минора матрицы. Другое, эквивалентное определение ранга матрицы: ранг матрицы равен числу линейно независимых столбцов (или строк) матрицы.

В силу произвольности столбца свободных членов z, условие имеет вид

Оглавление

В самом деле, если предположить, что ранг матрицы W меньше n, тогда множество линейно независимых столбцов W составляет неполный базис n -мерного пространства. Добавление к этому множеству произвольного столбца z (в частности ортогонального к множеству столбцов W) на единицу увеличит количество линейно независимых столбцов. В случае если ранг матрицы W равен n, (а это максимально возможное значение ранга W, так как в матрице W ровно n строк), то дополнительный столбец не может увеличить ранг.

Итак, при выполнении условия компоненты вектора обобщенного управления могут быть определены и, возможно, неоднозначно. Остается открытым вопрос о разрешимости соотношений, связывающих и.

Попытаемся найти в виде разложения по линейно независимым функциям, то есть

Подставляя выражение в, получим

Введем матрицу G, состоящую из элементов

такая матрица носит название матрицы Грама. Она симметрична и обратима. Последнее выполняется потому, что коэффициенты разложения матричной экспоненты по степеням матрицы А являются линейно независимыми функциями.

С учётом введённых обозначений соотношение примет вид

Оглавление

.

Сформируем из компонент вектора обобщённого управления (их всего nk) k векторов размерности

а из коэффициентов (их всего также nk) k векторов той же размерности

Тогда вместо nk скалярных уравнений для могут быть записаны k матричных, для n - мерных векторов

В силу обратимости матрицы Грама G, матричные уравнения разрешимы относительно векторов.

А значит, коэффициенты разложения координат вектора управления по функциям могут быть найдены. На этом доказательство теоремы Калмана о критерии управляемости систем с векторным управлением завершается.

Оглавление

Дата добавления: 2014-01-20