Уравнения движения системы двух маятников

Вопросы для самоконтроля

ТЕОРЕМА

Критерий управляемости для линейных систем второго порядка

Ранее был сформулирован критерий управляемости Хаутуса для линейных систем с управляющими параметрами, уравнения для которых имели форму Коши, то есть содержали производные только первого порядка и были разрешены относительно производных.

Рассмотрим теперь системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка, не разрешенные относительно вторых производных

,

В системе уравнений

- n -мерный вектор-столбец пространства состояний,

- k - мерный вектор управления

Оглавление

- постоянные матрицы,

- матрица дозатор.

Такую структуру имеют системы динамических уравнений малых колебаний около положения равновесия. В этом случае матрица М представляет собой матрицу инерции, симметричную, неособую и положительно определенную. Матрицы D и K - матрицы скоростных и позиционных сил, соответственно.

Для системы уравнений докажем теорему

Система управляема тогда и только тогда, когда

для всех корней её характеристического уравнения

.

Для доказательства условия предварительно разрешим ее относительно старших производных

.

Такое преобразование возможно, так как матрица М инерционных коэффициентов положительно определена и, значит, обратима. Далее, систему n уравнений второго порядка приведем к системе 2 n уравнений первого порядка. Введем расширенный вектор переменных

Уравнения для вектора имеют вид

Оглавление

Порядок системы уравнений равен 2n, и условие управляемости по теореме Хаутуса для неё имеет вид

.

Заметим, что характеристические уравнения и, соответственно их корни, для систем и совпадают. В самом деле, характеристический многочлен для системы равен

Умножим второй столбец коагулированной матрицы на и сложим с первым. Такое преобразование не изменяет определителя матрицы, следовательно

Согласно, условие Хаутуса будет

.

Преобразуем матрицу. Второй столбец матрицы умножим на и сложим с первым. Такое преобразование не изменяет ранга матрицы, поэтому условие управляемости теперь

Умножим матрицу слева на неособую квадратную матрицу

Оглавление

,

и получим условие управляемости Хаутуса в виде

Поскольку полученная матрица содержит в первых n строках единичную матрицу Е, то условие равенства 2n ранга матрицы расширенной системы эквивалентно требованию

Таким образом, теорема доказана.

1. Сформулируйте критерий управляемости Хаутуса для систем в форме Коши.

2. Сформулируйте критерий управляемости Хаутуса для систем дифференциальных уравнений второго порядка.

Оглавление

ЛЕКЦИЯ 5.
ЗАДАЧА ОДНОВРЕМЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ ДВУМЯ МАЯТНИКАМИ

Вывод уравнений, линеаризация, анализ управляемости по критерию Калмана, анализ управляемости по критерию Хаутуса

Рассмотрим систему двух математических маятников, точки крепления которых, находятся на движущейся по горизонтали платформе (рис. 1). Длины маятников равны и, их массы и соответственно. Масса платформы пренебрежимо мала. Управление колебаниями маятников осуществляется выбором закона движения платформы по горизонтали.

Рис.1 Система двух маятников

Механическая система, представленная на рис. 1, имеет две степени свободы, в качестве обобщенных координат, задающих ее положение, выберем углы и отклонения маятников.

Уравнения движения системы составим в форме уравнений Лагранжа второго рода

Согласно стандартной методике, запишем кинетическую энергию, потенциальную энергию системы и функцию Лагранжа.

Кинетическая энергия системы равна

Оглавление

Проекции скорости точки А на оси системы координат

Проекции скорости точки В на оси системы координат

Тогда кинетическая энергия

Потенциальная энергия сил тяжести равна

Функция Лагранжа

Вычислим необходимые для составления уравнений Лагранжа производные по обобщенной координате

Производные для переменной выглядят аналогично.

Уравнения Лагранжа имеют вид

При малых углах отклонения маятников уравнения имеют вид

Оглавление

или

Выберем в качестве управляющего параметра ускорение точек подвеса маятников, взятое с обратным знаком, то есть

Тогда уравнения будут описывать поведение динамической системы со скалярным управлением

Анализ управляемости системы проведем с помощью критерия управляемости Калмана и критерия управляемости Хаутуса.

Дата добавления: 2014-01-20